3 Möglichkeiten, die Kubikwurzel von Hand zu berechnen - Enzyklopädie

Video: Kubikzahlen, dritte Wurzel einer zahl

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Mit einem Taschenrechner ist das Finden der Kubikwurzel einer Zahl nur ein paar Klicks entfernt. Möglicherweise haben Sie jedoch keinen Taschenrechner zur Hand oder möchten Freunde nur mit der Möglichkeit beeindrucken, dies direkt zu tun. Es gibt einen Prozess, der zunächst mühsam erscheint, der aber mit der Übung einfach wird. Es wird hilfreich sein, sich an einige grundlegende mathematische und algebraische Konzepte über kubische Zahlen zu erinnern.

Schritte

Methode 1 von 3: Arbeiten mit einem herkömmlichen Kubikwurzelproblem

Schreiben Sie das Problem auf. Das Berechnen der Kubikwurzel einer Zahl entspricht praktisch der Lösung eines langen Teilungsproblems mit einigen besonderen Unterschieden. Der erste Schritt besteht darin, das Problem im richtigen Format zu konfigurieren.
- Schreiben Sie die Zahl, deren Kubikwurzel berechnet wird. Notieren Sie die Ziffern in Dreiergruppen, wobei Sie den Dezimalpunkt als Ausgangspunkt verwenden. In diesem Beispiel finden Sie die Kubikwurzel von 10. Schreiben Sie sie als 10 000 000. Die zusätzlichen Nullen werden verwendet, um die Berechnung präziser zu gestalten.
- Machen Sie ein Kubikwurzelzeichen über der Nummer. Es dient demselben Zweck wie die Trennbalkenlinie, mit dem einzigen Unterschied in der Form des Symbols.
- Platzieren Sie einen Dezimalpunkt auf der Linie direkt über dem Dezimalpunkt der Zahl.
Entdecken Sie die einstelligen Zahlenwürfel. Sie sollten es in Ihren Berechnungen verwenden. Sie sind wie folgt:
Suchen Sie die erste Ziffer der Lösung. Wählen Sie die Zahl, die, wenn sie zum Würfel angehoben wird, der ursprünglichen Zahl am nächsten kommt.
- In diesem Beispiel ist die erste der drei Zahlen 10. Suchen Sie den größten perfekten Würfel, der sich 10 nähert. Dieser Wert ist gleich 8, und die Kubikwurzel ist gleich 2.
- Schreiben Sie die Zahl 2 auf die radikale Linie über die Zahl 10. Schreiben Sie den Wert von 8 unter die Zahl 10, zeichnen Sie die Linie und subtrahieren Sie, genau wie in einer langen Division. Das Ergebnis ist 2.
- Nach der Subtraktion haben Sie die erste Ziffer der Lösung. Es muss entschieden werden, ob es sich um ein ausreichend genaues Ergebnis handelt, was in den meisten Fällen nicht der Fall ist. Sie können die Antwort überprüfen, indem Sie diese Ziffer würfeln und entscheiden, ob das Ergebnis nahe genug an der gewünschten liegt. Hier müssen Sie fortfahren, da es gleich 8 und nicht sehr nahe an 10 ist.
Machen Sie sich bereit, um die nächste Ziffer zu finden. Kopieren Sie die nächste Gruppe von drei Zahlen unten und zeichnen Sie eine kleine vertikale Linie links vom resultierenden Wert. Dies ist die Basisnummer für das Auffinden der nächsten Ziffer in der Kubikwurzellösung. In diesem Beispiel haben Sie die Zahl 2000, gebildet aus der 2, die sich aus der vorherigen Subtraktion ergibt, zusammen mit der Gruppe von drei Nullen, die gesunken sind.
- Links von der vertikalen Linie lösen Sie den nächsten Teiler als die Summe von drei separaten Zahlen. Machen Sie Leerzeichen für diese Zahlen mit drei Unterstrichen und drei Pluszeichen dazwischen.
Finden Sie den Anfang des nächsten Teilers. Schreiben Sie für den ersten Teil des Divisors das 300-fache des Quadrats der Zahl, die über dem Radikal liegt. In diesem Fall haben wir 4 * 300 = 1200, da es 2 ist und 2 gleich 4 ist. Geben Sie 1200 in das erste Feld ein. Der Divisor für diesen Lösungsschritt ist 1200 plus etwas, das unten zu finden ist.
Suchen Sie die nächste Nummer in der Kubikwurzellösung. Finden Sie die nächste Ziffer der Lösung, indem Sie auswählen, was mit dem Divisor multipliziert werden kann, der 1200 und einige wenige beträgt, und von den verbleibenden 2000 subtrahiert werden kann. Dieser Wert kann nur 1 sein, da 2 mal 1200 gleich 2400 ist, ein Wert größer als 2000.Schreiben Sie die Nummer 1 in das nächste Feld über dem Stiel.
Bestimmen Sie den Rest des Divisors. Der Teiler für diesen Lösungsschritt besteht aus drei Teilen. Der erste Teil repräsentiert die 1200, die Sie bereits haben. Sie müssen zwei Begriffe hinzufügen, um den Divisor zu vervollständigen.
- Berechnen Sie nun 3 mal 10 für jede der beiden Ziffern in der Lösung über dem Radikal. In diesem Beispiel bedeutet dies 3 * 10 * 2 * 1, was 60 ist. Fügen Sie das Ergebnis zu den bereits vorhandenen 1200 hinzu, um 1260 zu erhalten.
- Fügen Sie zum Schluss das Quadrat der letzten Ziffer hinzu. In diesem Beispiel ist diese Zahl 1 und 1 ist immer noch gleich 1. Daher ist der Gesamtteiler gleich 1200 + 60 + 1 oder 1261. Schreiben Sie diesen Wert links von der vertikalen Linie.
Multiplizieren und subtrahieren. Vervollständigen Sie diesen Teil der Lösung, indem Sie die letzte Ziffer - in diesem Fall 1 - mit dem neu berechneten Divisor 1261 multiplizieren. 1 * 1261 = 1261. Schreiben Sie diese Antwort unter 2000 und führen Sie die Subtraktion durch, die zu 739 führt.
Entscheiden Sie, ob Sie für eine höhere Genauigkeit fortfahren möchten. Nachdem Sie die Subtraktion jedes Schritts abgeschlossen haben, müssen Sie prüfen, ob die Antwort genau genug ist. In Bezug auf die Kubikwurzel von 10 fanden wir nach der ersten Subtraktion nur 2, was kein sehr genauer Wert ist. Nach einem zweiten Teil haben wir nun Lösung 2.1.
- Sie können diese Genauigkeit überprüfen, indem Sie 2.1 * 2.1 * 2.1 multiplizieren. Das Ergebnis entspricht 9.261.
- Wenn Sie glauben, dass das Ergebnis genau genug ist, können Sie hier aufhören. Wenn Sie etwas genaueres wünschen, lesen Sie weiter, um den anderen Teil zu verstehen.
Suchen Sie den Teiler für den nächsten Abschnitt. In diesem Fall wiederholen Sie die Schritte wie folgt, um eine praktischere und genauere Antwort zu erhalten:
- Scrollen Sie zur nächsten dreistelligen Gruppe. In diesem Fall gibt es drei Nullen, die die Zahl 739 begleiten und 739000 ergeben.
- Berechnen Sie den Divisor, indem Sie das 300-fache des Quadrats der Zahl über dem Radikal multiplizieren. Dies entspricht 132300.
- Wählen Sie die nächste Ziffer der Lösung aus, um sie mit 132300 zu multiplizieren, und haben Sie immer noch etwas weniger als 739000. Eine gute Option wäre die Zahl 5, da 5 * 132300 = 661500. Schreiben Sie die Ziffer 5 in das nächste Feld oben das Radikale.
- Berechnen Sie das 3-fache der vorherigen Zahl auf dem Stiel, das 21-fache der zuletzt geschriebenen Ziffer, das 5-fache von 10. Dies ergibt.
- Zum Schluss quadrieren Sie die letzte Zahl. Das führt zu.
- Addieren Sie die Teilerteile, um 132300 + 3.150 + 25 = 135475 zu erhalten.
Multiplizieren Sie den Divisor mit dem Lösungswert. Nachdem Sie den Divisor des nächsten Abschnitts berechnet und die Lösung um eine Ziffer erweitert haben, gehen Sie wie folgt vor:
- Multiplizieren Sie den Divisor mit der letzten Ziffer der Lösung. 135475 * 5 = 677375.
- Mach die Subtraktion. 739000 - 677375 = 61625.
- Entscheiden Sie, ob die 2.15-Lösung genau genug ist. Hebe es auf den Würfel, um es zu erhalten.
Schreiben Sie die endgültige Antwort. Das Ergebnis über dem Radikal ist die Kubikwurzel, die an diesem Punkt auf drei Dezimalstellen genau ist. In diesem Beispiel ist die Kubikwurzel von 10 gleich 2,15. Bestätigen Sie, dass Sie bei der Berechnung von 2,15 = 9,94 einen Wert nahe 10 erhalten. Wenn Sie eine noch größere Genauigkeit benötigen, setzen Sie den Vorgang einfach in so vielen Schritten wie nötig fort.

Methode 2 von 3: Finden von Würfelwurzeln durch wiederholte Schätzung

Verwenden Sie kubische Zahlen, um obere und untere Grenzen zu definieren. Wenn Sie die Kubikwurzel fast jeder Zahl kennen müssen, wählen Sie zunächst einen perfekten Würfel so nah wie möglich, ohne das Ziel zu überschreiten.
- Wenn Sie beispielsweise die Kubikwurzel von 600 ermitteln möchten, denken Sie daran (oder verwenden Sie eine Tabelle mit kubischen Zahlen), dass e. Daher liegt die Lösung für die Kubikwurzel von 600 zwischen 8 und 9. Sie verwenden die Zahlen 512 und 729 als obere und untere Grenze der Lösung.
Schätzen Sie die nächste Ziffer. Die erste Ziffer stammte aus seiner eigenen Kenntnis der kubischen Zahlen. Um den nächsten zu finden, schätzen Sie einige Werte zwischen 0 und 9 basierend auf der Position des Werts zwischen den beiden Grenzwerten.
- Im obigen Beispiel liegt das Ziel von 600 zwischen den Grenzwerten von 512 und 729. Wählen Sie daher 5 als nächste Ziffer.
Testen Sie die Schätzung, indem Sie sie auf den Würfel heben. Versuchen Sie, die aktuelle Schätzung zu multiplizieren, um zu sehen, wie nah Sie am Ziel sind.
- In diesem Beispiel multiplizieren Sie.
Passen Sie die Schätzung nach Bedarf an. Notieren Sie nach dem Würfeln der letzten Schätzung, wo das Ergebnis im Vergleich zum Ziel liegt. Wenn das Ergebnis das Ziel überschreitet, müssen Sie die Schätzung um eins oder mehr senken. Wenn es jedoch unter dem Ziel liegt, kann es erforderlich sein, es anzuheben, bis es das Ziel überschreitet.
- In diesem Problem überschreitet es beispielsweise das Ziel von 600. Daher müssen Sie die Schätzung auf 8,4 senken. Erhöhen Sie diese Zahl und vergleichen Sie sie mit dem gewünschten Wert. Sie werden das finden. Dieses Ergebnis liegt unter dem Ziel. Daher wissen Sie, dass die Kubikwurzel von 600 größer als 8,4 und kleiner als 8,5 sein muss.
Schätzen Sie die nächste Ziffer für eine noch größere Genauigkeit. Sie müssen diesen Prozess der Schätzung der Ziffern von 0 bis 9 fortsetzen, bis Sie so genau antworten, wie Sie möchten. Beobachten Sie für jede Schätzung zunächst den Punkt, an dem die letzten Berechnungen zwischen den Grenzwerten eintreffen.
- In diesem Beispiel zeigt der letzte Abschnitt der Berechnungen, dass während. Das 600-Ziel liegt etwas näher bei 592 als bei 614. Wählen Sie für die nächste Schätzung eine Zahl, die etwas unter der Hälfte zwischen 0 und 9 liegt. Eine gute Schätzung wäre 4 und erreicht die Kubikwurzel von 8,44.
Testen Sie die Schätzungen weiter und nehmen Sie Anpassungen vor. Würfeln Sie die Schätzung so oft wie nötig und beobachten Sie, wie sie mit dem Ziel verglichen wird. Sie sollten die Werte finden, die direkt unter und knapp über dem Ziel liegen.
- Beachten Sie in diesem Beispiel Folgendes. Dieses Ergebnis liegt knapp über dem Ziel, daher werden wir mit 8,43 testen. Dies führt zu. Bald werden Sie wissen, dass die Kubikwurzel von 600 über 8,43 und unter 8,44 liegt.
Fahren Sie so lange wie nötig fort, bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben. Wiederholen Sie die Schätzschritte, vergleichen Sie sie und schätzen Sie sie so lange wie nötig neu, bis die Lösung so genau wie gewünscht ist. Beachten Sie, dass sich das Ergebnis mit jeder Dezimalstelle dem Ziel nähert.
- Im Beispiel der Kubikwurzel von 600 mit zwei Dezimalstellen (8,43) sind Sie kleiner als 1. Wenn Sie mit einer dritten Dezimalstelle fortfahren, finden Sie weniger als 0,1 der endgültigen Antwort.

Methode 3 von 3: Verstehen, wie diese Berechnung funktioniert

Überprüfen Sie die Binomialerweiterung. Um zu verstehen, warum dieser Algorithmus bei der Erkennung von Kubikwurzeln funktioniert, müssen Sie sich zunächst daran erinnern, wie die binomische kubische Erweiterung aussieht. Es ist wahrscheinlich, dass dies in einer Ihrer High-School-Algebra-Klassen unterrichtet wurde (und wenn Sie wie die meisten Menschen sind, haben Sie es sofort vergessen). Wählen Sie zwei Variablen und um einstellige Zahlen darzustellen. Erstellen Sie als Nächstes das Binomial, um eine zweistellige Zahl darzustellen.
- Die Verwendung des Begriffs erzeugt eine zweistellige Zahl. Unabhängig von der gewählten Ziffer wird diese in die Zehner-Spalte eingefügt. Wenn es beispielsweise gleich 2 und gleich 6 ist, wird es 26.
Erweitern Sie das Binomial in einem Würfel. Hier arbeiten wir in umgekehrter Reihenfolge, indem wir zuerst den Würfel erstellen und dann sehen, warum die Lösung für Kubikwurzeln funktioniert. Wir müssen den Wert von entdecken. Dafür vervielfacht es sich. Dieser Ausdruck ist zu lang, um hier entwickelt zu werden, aber das Ergebnis wird sein.
- Weitere Tipps finden Sie in diesem Artikel.
Verstehen Sie, was der Algorithmus für lange Teilungen bedeutet. Beachten Sie, dass die Methode zur Berechnung der Kubikwurzel wie die lange Division funktioniert. Darin finden Sie zwei Faktoren, die sich multiplizieren, um das Produkt der Startzahl zu erhalten. Bei der Berechnung ist der aktuelle Wert (Zahl über dem Radikal) die Kubikwurzel. Dies bedeutet, dass es den Begriff (10A + B) darstellt. Im Moment sind die Werte von A und B irrelevant, solange Sie die Beziehung verstehen, die sie zur endgültigen Antwort haben.
Überprüfen Sie die erweiterte Version. Wenn Sie sich ein entwickeltes Polynom ansehen, werden Sie sehen, warum der Kubikwurzel-Algorithmus funktioniert. Verstehen Sie, dass der Teiler jedes Schritts des Algorithmus die Summe von vier Begriffen darstellt, die berechnet und addiert werden müssen. Sie sind wie folgt:
- Der erste Term enthält ein Vielfaches von 1000. Sie erhöhen die Zahl als Würfel und prüfen, ob sie innerhalb der Grenzen für die lange Division in Bezug auf die erste Ziffer liegt. Dies führt zu dem Begriff 1000A bei der Binomialerweiterung.
- Der zweite Term der Binomialexpansion hat den Koeffizienten 300 (der tatsächlich in der Form vorliegt). Denken Sie daran, dass bei der Berechnung der Kubikwurzel die erste Ziffer in jedem Schritt mit 300 multipliziert wird.
- Die zweite Ziffer in jedem Berechnungsschritt stammt aus dem dritten Term der Binomialerweiterung. Dort finden Sie den Begriff 30AB.
- Die letzte Ziffer jedes Schritts ist der Begriff B.
Beachten Sie die Erhöhung der Genauigkeit. Bei der Arbeit mit dem Algorithmus für lange Teilungen bringt jeder abgeschlossene Schritt die Antwort präziser. Zum Beispiel versucht das Problem des Artikels, die Kubikwurzel von 10 zu finden. Im ersten Schritt ist die Lösung 2, da es sich um einen Wert handelt, der nahe bei, aber kleiner als 10 liegt. Nach einem zweiten Vorgang erhalten Sie das Ergebnis 2.1. Bei der Berechnung etwas, das dem Ziel viel näher kommt. Nach einem dritten Versuch finden Sie den Wert 2.15, was zu ergibt. Sie können in dreistelligen Gruppen weiterarbeiten, um die Antwort so präzise wie nötig zu gestalten.