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• Schritte
• Tipps
• Warnungen

Bevor der Rechner eintraf, mussten sowohl Schüler als auch Lehrer Quadratwurzeln von Hand berechnen. Es wurden verschiedene Methoden entwickelt, um diesen erschreckenden Prozess besser zu bewältigen. Einige bringen Annäherungen und andere einen genaueren Wert. Um zu lernen, wie man eine Quadratwurzel mit einfachen Operationen von Hand berechnet, lesen Sie die Schritt 1 beginnen.

Schritte

Methode 1 von 2: Primfaktorisierung verwenden

1. 

   Teilen Sie die Zahl durch perfekte quadratische Faktoren. Diese Methode verwendet die Faktoren einer Zahl, um eine Quadratwurzel zu berechnen (je nach Wert kann es sich um eine genaue oder geschätzte Antwort handeln). Sie Faktoren einer Zahl sind alle anderen, die sich vermehren, um dies zu erreichen. Man könnte zum Beispiel sagen, was die Faktoren sind und warum. Perfekte Quadrate hingegen sind ganze Zahlen, die sich aus der Multiplikation zwischen anderen ganzen Zahlen ergeben. Werte und sind beispielsweise perfekte Quadrate, da sie durch bzw. dargestellt werden können. Die perfekten quadratischen Faktoren sind, wie Sie sich vorstellen können, auch perfekte Quadrate. Reduzieren Sie die Werte auf Ihre perfekten Quadratfaktoren, um die Quadratwurzel durch Primfaktorisierung zu finden.
   • In einem Beispiel müssen Sie die Quadratwurzel der Hand berechnen. Teilen Sie zunächst den Wert in Ihre perfekten quadratischen Faktoren. Da es sich um ein Vielfaches von handelt, ist immer noch bekannt, dass es durch ein perfektes Quadrat teilbar ist. Eine schnelle mentale Trennung lässt Sie erkennen, dass sie mal in die Zahl passt, was zufällig auch ein perfektes Quadrat ist. Daher sind die perfekten quadratischen Faktoren des Willens und warum.
   • Die erste Phase der Übung wird wie folgt geschrieben:

2. 

   
   
   Berechnen Sie die Quadratwurzeln der perfekten Quadratfaktoren. Die Eigenschaft des Quadratwurzelprodukts besagt, dass für alle Werte und Daten. Aus diesem Grund ist es jetzt möglich, die Quadratwurzeln der Faktoren zu extrahieren und zu multiplizieren, um zur Antwort zu gelangen.
   • In dem fraglichen Beispiel werden die Quadratwurzeln von und wie folgt extrahiert:

3. 

   
   
   Reduzieren Sie den resultierenden Wert auf die einfachsten Begriffe, wenn es nicht möglich ist, ihn perfekt zu faktorisieren. In der Praxis ist es unwahrscheinlich, dass die Zahlen perfekt und genau sind, mit Faktoren, die auch perfekte Quadrate sind (wie). In solchen Fällen ist es möglicherweise nicht möglich, eine genaue vollständige Antwort zu finden. Stattdessen können Sie durch Bestimmen der Faktoren, die perfekte Quadrate sein können, die Antwort basierend auf einer kleineren, einfacheren und leichter zu bearbeitenden Quadratwurzel berechnen. Reduzieren Sie einfach die Anzahl auf die Kombination von Faktoren, die perfekte Quadrate sind, mit anderen, die es nicht sind. Vereinfachen Sie dann das Ergebnis.
   • Angenommen, die Quadratwurzel von wird als Beispiel verwendet. Diese Zahl ist nicht das Produkt zweier perfekter Quadrate, so dass es nicht möglich ist, einen ganzzahligen Wert wie im vorherigen Fall zu erhalten. Es ist jedoch das Produkt zwischen einem perfekten Quadrat und einer anderen Zahl - z. Diese Daten werden verwendet, um die Suche nach der Antwort auf einfachste Weise wie folgt voranzutreiben:

4. 

   
   
   Machen Sie gegebenenfalls Schätzungen. Mit der Quadratwurzel in ihren einfachsten Begriffen ist es einfacher, eine numerische Antwort zu schätzen, indem der Wert der verbleibenden Quadratwurzeln festgelegt und die entsprechenden Werte multipliziert werden. Eine Möglichkeit, sich durch diese Schätzungen zu führen, besteht darin, die perfekten Quadrate neben der Zahl in der Quadratwurzel zu finden. Sie werden wissen, dass die Dezimalstellen dieser Zahl zwischen diesen beiden Werten liegen, und daher ist es einfacher zu bestimmen, was zwischen ihnen existiert.
   • Wenn Sie zum Beispiel zurückkehren und e sind, können Sie sehen, dass es zwischen e - und wahrscheinlich näher an der größeren Zahl liegt. Bei der Schätzung werden Sie das finden. Überprüfen Sie den Vorgang einfach mit Hilfe eines Taschenrechners und Sie werden feststellen, dass Sie der wahren Antwort sehr nahe gekommen sind ().
     • Dies funktioniert auch in größerer Anzahl. Es ist zum Beispiel möglich zu schätzen, dass es zwischen und liegt (wahrscheinlich näher an der größeren Zahl). Wenn e und zwischen beiden Werten liegt, liegt die Quadratwurzel wahrscheinlich auch zwischen und. Wenn Sie berücksichtigen, dass es nur einen kleinen Schritt entfernt ist, können Sie sicher sagen, dass Ihre Quadratwurzel ist bald unter dem Wert. Wenn Sie die Berechnung auf einem Taschenrechner durchführen, gelangen Sie zum Ergebnis - die Annahme war richtig.

5. 

   Reduzieren Sie zunächst die Anzahl auf Ihre gemeinsame multiple Minima. Es ist nicht erforderlich, Faktoren zu finden, die perfekte Quadrate sind, wenn Sie die Primfaktoren einer Zahl bestimmen können (dh auch Primzahlen). Schreiben Sie den fraglichen Wert basierend auf dem Minimum der gemeinsamen Vielfachen. Suchen Sie als nächstes nach Paaren von Primzahlen, die zueinander passen. Wenn Sie zwei Optionen finden, die diese Anforderungen erfüllen, nehmen Sie sie aus der Quadratwurzel und platzieren Sie sie ein von ihnen draußen.
   • Versuchen Sie beispielsweise, mit dieser Methode die Quadratwurzel von zu finden. Es ist das und das bekannt. Aus diesem Grund ist es möglich, die Quadratwurzel in Bezug auf ihre Faktoren zu schreiben: Nehmen Sie einfach die beiden in der Wurzel vorhandenen und platzieren Sie eine davon außen, um die einfachsten Begriffe zu erhalten: Von hier aus ist es leicht abzuschätzen.
   • Versuchen Sie als letztes Beispiel, die Quadratwurzel von zu berechnen:
     • 
       Hier gibt es mehrere Werte innerhalb der Quadratwurzel - da es sich um eine Primzahl handelt, nehmen Sie einfach eines der Paare und platzieren Sie eine der Einheiten auf der Außenseite.
     • Infolgedessen ist die Quadratwurzel in ihren einfachsten Begriffen oder. Von hier aus können Sie die Werte von und schätzen, wenn Sie dies wünschen.

Methode 2 von 2: Quadratische Wurzeln manuell berechnen

1. 

   Trennen Sie zunächst die Leerzeichen paarweise von der Zahl. Diese Methode verwendet einen Prozess ähnlich der langen Division, um die Quadratwurzel zu berechnen genauein Haus nach dem anderen. Obwohl dies nicht entscheidend ist, stellen Sie möglicherweise fest, dass der Prozess einfacher ist, wenn er visuell organisiert und die Anzahl in Teile unterteilt ist. Als erstes müssen Sie eine vertikale Linie zeichnen, die den Arbeitsbereich in zwei Bereiche trennt, und dann oben rechts eine kleinere horizontale Linie erstellen, um oben einen kleinen und unten einen großen Abschnitt zu erhalten. Trennen Sie nun die Leerzeichen paarweise von der Zahl, beginnend mit dem Komma: Nach dieser Regel wird beispielsweise. Schreiben Sie den Wert oben in das linke Feld.
   • Versuchen Sie in einem Beispiel, die Quadratwurzel von zu berechnen. Machen Sie zwei Zeilen, um den Arbeitsbereich wie im vorherigen Fall zu teilen, und schreiben Sie in den oberen Teil des linken Bereichs. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn links nur eine einzige Zahl anstelle eines Paares steht. Sie müssen die Antwort () in den oberen rechten Bereich schreiben.

2. 

   Finden Sie heraus, welche die größte Ganzzahl ist, deren Quadrat kleiner oder gleich der Zahl (oder dem Zahlenpaar) auf der linken Seite ist. Beginnen Sie mit dem ganz linken Teil Ihrer Nummer, egal ob es sich um ein Paar oder einen isolierten Wert handelt. Bestimmen Sie, welches das größte perfekte Quadrat ist, das kleiner oder gleich dieser Zahl ist, und ziehen Sie seine Quadratwurzel: Dieser Wert wird durch dargestellt. Schreiben Sie es in das obere rechte Feld und schreiben Sie Ihr Quadrat in den unteren rechten Quadranten.
   • Im Beispiel ist der am weitesten links stehende Teil die Zahl. Es ist bekannt, dass dies möglich ist, da es sich um den größten ganzzahligen Wert handelt, dessen Quadrat kleiner oder gleich ist. Schreiben Sie in den oberen Quadranten - dies ist das erste Quadrat des Ergebnisses. Schreiben Sie dann (Quadrat von) in den unteren rechten Quadranten - dieser Wert ist für den nächsten Schritt wichtig.

3. 

   Subtrahieren die neu berechnete Paarnummer links. Wie bei der langen Division besteht der nächste Schritt darin, das gefundene Quadrat von dem gerade untersuchten Teil zu subtrahieren. Schreiben Sie diesen Wert unter den ersten Teil und führen Sie die entsprechende Subtraktion durch, indem Sie die folgende Antwort schreiben.
   • Im Beispiel wird eine unter die gesetzt, um die Subtraktion durchzuführen. Die Antwort hier ist gleich.

4. 

   Gehe runter zum nächsten Paar. Bewegen Sie den nächsten Teil der Studiennummer nach unten und neben den subtrahierten Wert, den Sie gerade gefunden haben. Dann multiplizieren Sie den Wert oben rechts mit und schreiben Sie die Antwort in den unteren rechten Quadranten. Trennen Sie nun im nächsten Schritt einfach ein Leerzeichen für das Multiplikationsproblem:
   • Im Beispiel ist das nächste verfügbare Paar. Schau es dir einfach in der Nähe des unteren linken Quadranten an. Dann multiplizieren Sie den Wert mit und erhalten Sie es, so dass. Schreiben Sie in die untere rechte Ecke, gefolgt von.

5. 

   Füllen Sie die Lücken im rechten Quadranten aus. Jeder von ihnen hat jetzt dieselbe ganze Zahl. Es muss das größte sein, mit dem das Ergebnis der Multiplikation rechts kleiner oder gleich der jetzt links vorhandenen Zahl sein kann.
   • Im Beispiel füllen Sie die Lücken mit dem Ergebnis: Dies ist ein Wert größer als. Auf diese Weise ist es zu groß, aber es wird wahrscheinlich reichen. Schreiben Sie in die Lücken und fahren Sie fort: Es wird bestätigt, dass es den Bedarf erfüllt, weil dann die Zahl in den oberen rechten Quadranten geschrieben wird. Dies ist das zweite Quadrat in der Quadratwurzel von.

6. 

   Subtrahieren Sie den berechneten Wert von der Zahl links. Subtrahieren Sie weiter im gleichen Stil wie die lange Division. Nehmen Sie das Ergebnis des Multiplikationsproblems in den rechten Quadranten und subtrahieren Sie es von dem Wert, der sich jetzt auf der linken Seite befindet, und platzieren Sie Ihre Antwort direkt darunter.
   • Im Beispiel wird es subtrahiert, was zu führt.

7. 

   Wiederholen Sie Schritt 4. Scrollen Sie zum nächsten Teil der Zahl, deren Quadratwurzel berechnet wird. Wenn Sie das Komma erreichen, schreiben Sie eine Dezimalstelle in die Antwort im oberen rechten Quadranten. Multiplizieren Sie dann den Wert oben rechts mit und schreiben Sie die Operation wie zuvor in weiß ().
   • Wenn im Beispiel das Komma jetzt erreicht wird, schreiben Sie es direkt nach der aktuellen Antwort oben rechts. Bewegen Sie sich dann das nächste Paar () im linken Quadranten nach unten. Durch Multiplizieren mit dem Wert oben rechts () erhalten Sie - schreiben Sie in den unteren rechten Quadranten.

8. 

   Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Suchen Sie den größten Dezimalwert, der die Lücken rechts ausfüllen kann und ein Ergebnis ergibt, das kleiner oder gleich der aktuell links stehenden Zahl ist. Fahren Sie dann einfach mit dem Problem fort.
   • Im Beispiel ,, das kleiner oder gleich der Zahl links ist (). Wenn Sie das beobachten, was zu hoch ist, kommen Sie zu dem Schluss, dass es die Antwort ist, nach der Sie suchen. Schreiben Sie es als nächste Dezimalstelle in den oberen rechten Quadranten und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation der Zahl links:.

9. 

   Berechnen Sie weiterhin die Dezimalstellen. Lassen Sie ein Paar Nullen nach links fallen und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Um noch präziser zu werden, wiederholen Sie den Vorgang so lange, bis Sie die Hundertstel, Tausendstel usw. in Ihrer Antwort finden. Fahren Sie einfach mit diesem Zyklus fort, bis Sie das Ergebnis mit der gewünschten Dezimalstelle erreichen.

Den Prozess verstehen

1. 

   Definieren Sie die Zahl, deren Quadratwurzel als Fläche eines Quadrats berechnet wird. Da dieser Bereich eine Formel hat, in der er die Länge einer seiner Seiten darstellt, versuchen Sie beim Ermitteln der Quadratwurzel seines Werts, die Länge des betreffenden Quadrats zu berechnen.

2. 

   Geben Sie die Variablen für jede Dezimalstelle in Ihrer Antwort an. Stellen Sie die Variable auf die erste Dezimalstelle von (Quadratwurzel wird berechnet), auf die zweite, auf die dritte usw. ein.

3. 

   Weisen Sie jedem Teil der Startnummer alphabetische Variablen zu. Verknüpfen Sie die Variable mit dem ersten Dezimalstellenpaar in (Anfangswert), dem zweiten Dezimalstellenpaar usw.

4. 

   Verstehen Sie den Zusammenhang dieser Methode mit der langen Teilung. Diese Art der Berechnung der Quadratwurzel ist im Grunde ein langes Teilungsproblem, das die Startzahl durch ihre Quadratwurzel teilt. geben seine Quadratwurzel als Antwort. Wie bei Problemen mit langer Teilung, bei denen das Interesse jeweils auf eine Dezimalstelle gerichtet ist, sollten Sie sich hier auf jeweils zwei konzentrieren (die der nächsten Dezimalstelle der Quadratwurzel entsprechen).

5. 

   Suchen Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich ist. Die erste Dezimalstelle in der Antwort steht für die größte Ganzzahl, deren Quadrat (so) nicht überschreitet. Im Beispiel und, damit.
   • In einem Beispiel wäre der erste Schritt ähnlich, wenn Sie mit der Methode der langen Teilung teilen möchten: Sie sollten nach der ersten Ziffer () suchen und die größte Ganzzahl finden, die bei Multiplikation mit etwas weniger als oder ergibt gleich. Im Grunde geht es darum, diesen Weg zu finden. In diesem Fall wäre es gleich.

6. 

   Visualisieren Sie das Quadrat, dessen Fläche Sie berechnen möchten. Die Antwort, die die Quadratwurzel der Startnummer ist, wird durch dargestellt, die die Länge eines Flächenquadrats (Startnummer) beschreibt. Die Werte für und repräsentieren die Dezimalstellen in. Eine andere Möglichkeit, diese Definition zu formulieren, besteht darin, im Fall einer Antwort mit zwei Dezimalstellen, im Fall einer Antwort mit drei Dezimalstellen usw. anzugeben.
   • Im Beispiel. Denken Sie daran, dass es die Antwort in den Einheiten und in den Zehner darstellt. Am Beispiel und als Beispiel ergibt sich die Nummer. Wenn es die Fläche des Quadrats darstellt, stellt es die Fläche des größten inneren Quadrats dar, stellt die Fläche des kleinsten inneren Quadrats dar und repräsentiert die Fläche jedes der verbleibenden Rechtecke. Wenn Sie diesen langen und komplizierten Prozess ausführen, haben Sie die gesamte quadratische Fläche zur Hand, indem Sie nur die Flächen hinzufügen, die aus den Quadraten und Rechtecken im Inneren berechnet wurden.

7. 

   Subtrahieren von. Löschen Sie ein Paar () von Dezimalstellen. Der Ausdruck repräsentiert fast die gesamte Fläche des Quadrats, von der das größte interne Quadrat abgezogen wurde. Der Rest kann wiederum durch den in dargestellt werden Schritt 4 (im obigen Beispiel). Hier (Fläche beider Rechtecke plus Fläche des kleinsten Quadrats).

8. 

   Suchen Sie nach, auch geschrieben als. Im Beispiel kennen Sie bereits () und (), und es ist jetzt erforderlich, den Wert von zu berechnen. Es wird wahrscheinlich kein ganzzahliger Wert sein, also müssen Sie Ja wirklich Berechnen Sie die größte Gesamtmöglichkeit, die die Bedingung erfüllt. Schließlich werden Sie mit verlassen.

9. 

   Lösen Sie die Operation. Um fortzufahren, multiplizieren Sie mit, ändern Sie die Position der Zehner (das Äquivalent zum Multiplizieren des Werts mit), setzen Sie ihn in die Position der Einheiten und multiplizieren Sie das Ergebnis mit. Mit anderen Worten, führen Sie einfach die Operation aus. Es ist dasselbe wie beim Schreiben (Sein) in den unteren rechten Quadranten, der in der Schritt 4. Bereits in Schritt 5Im Gegenzug finden Sie den größten ganzzahligen Wert, der in das Leerzeichen passt und die Bedingung erfüllt.

10. 

    Subtrahieren Sie die Fläche von der Gesamtfläche. Dies führt dazu, dass der bisher nicht berücksichtigte Bereich (und der zur Berechnung der nächsten Quadrate auf ähnliche Weise verwendet wird).

11. 

    Um die nächste Dezimalstelle zu berechnen, wiederholen Sie einfach den Vorgang. Scrollen Sie nach unten zum nächsten Paar () von, um nach links zu gelangen und nach dem höchsten Wert zu suchen, der die Bedingung erfüllt (entspricht dem Schreiben des doppelten Werts mit zwei Dezimalstellen, begleitet von. Suchen Sie nach dem höchstmöglichen Dezimalwert in den Leerzeichen das bringt ein Ergebnis, das kleiner oder gleich ist wie zuvor.

Tipps

• Diese Methode funktioniert mit jeder Basis - nicht nur mit der (Dezimal-) Basis.
• Im Beispiel kann eine "Pause" betrachtet werden:
  
• Eine alternative Methode, die kontinuierliche Fraktionen verwendet, folgt dieser Formel:
  
  In einem Beispiel, um die Quadratwurzel von zu berechnen, ist die ganze Zahl, deren Quadrat am ehesten mit der Startzahl übereinstimmt, so dass e. Wenn Sie die Werte in die Formel eingeben und die Schätzung aufrunden, wird bereits das Ergebnis (Mindestwerte) oder ungefähr () angezeigt. Der nächste Begriff wäre oder ungefähr (). Jeder zusätzliche Term fügt dem vorherigen Versuch fast drei Dezimalstellen Genauigkeit hinzu.

Warnungen

• Denken Sie daran, die Dezimalstellen paarweise vom Komma zu trennen. Eine Trennung, wie zum Beispiel, wird nutzlose Ergebnisse bringen.