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• Notwendige Materialien

In Mathematik, Faktorisierung Es stellt den Vorgang dar, die Zahlen oder Ausdrücke zu entdecken, die sich zu einer bestimmten Zahl oder Gleichung multiplizieren. Factoring ist eine nützliche Fähigkeit, um grundlegende Algebra-Probleme zu lösen. Die Fähigkeit, kompetent zu faktorisieren, wird beim Umgang mit quadratischen Gleichungen und anderen Formen von Polynomen fast unabdingbar. Factoring kann verwendet werden, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und die Auflösung zu vereinfachen. Es kann Ihnen sogar die Möglichkeit geben, bestimmte mögliche Antworten viel schneller zu eliminieren, als wenn es nicht verwendet würde.

Schritte

Methode 1 von 2: Faktorzahlen und grundlegende algebraische Ausdrücke

1. 

   Verstehen Sie die Definition von Factoring, wenn es auf isolierte Zahlen angewendet wird. Factoring ist konzeptionell einfach, kann sich jedoch in der Praxis in Kombination mit komplexen Gleichungen als herausfordernde Aufgabe erweisen. Aus diesem Grund ist es einfacher, sich dem Konzept des Factorings mit einfachen Zahlen zu nähern und dann mit einfachen Gleichungen fortzufahren, bevor Sie mit fortgeschritteneren Anwendungen fortfahren. Das Faktoren einer Zahl sind jene Begriffe, die sich multiplizieren, um sie als Ergebnis zu erhalten. Zum Beispiel sind die Faktoren 12 1, 12, 2, 6, 3 und 4, da 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 alle 12 als Ergebnis haben.
   • Eine andere Art, darüber nachzudenken, besteht darin, zu berücksichtigen, dass die Faktoren einer Zahl diejenigen sind, für die sie bestimmt ist gleichermaßen teilbar.
   • Können Sie alle Faktoren der Zahl 60 finden? Wir werden diese Zahl aus einer Vielzahl von Gründen verwenden (Minuten in einer Stunde, Sekunden in einer Minute usw.), da sie durch eine große Anzahl von Zahlen gleichmäßig teilbar ist.
     • Die Faktoren von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.

2. 

   
   
   Verstehen Sie, dass variable Ausdrücke auch berücksichtigt werden können. So wie isolierte Zahlen berücksichtigt werden können, können auch Variablen mit numerischen Koeffizienten berücksichtigt werden. Finden Sie dazu einfach die Faktoren der Koeffizienten der Variablen. Das Wissen, wie Variablen faktorisiert werden, ist nützlich, um algebraische Gleichungen zu vereinfachen, in denen Variablen existieren.
   • Beispielsweise kann die Variable 12x als Produkt von 12 und x geschrieben werden. Wir können es als 12x oder 3 (4x), 2 (6x) usw. schreiben, wobei wir die Faktoren 12 verwenden, die für unseren Zweck am besten geeignet sind.
     • Wir können niemals so weit gehen, 12x zu faktorisieren mehrmals. Mit anderen Worten, wir müssen nicht mit 3 (4x) oder 2 (6x) aufhören - wir können 4x und 6x herausrechnen, was zu 3 (2 (2x)) bzw. 2 (3 (2x)) führt. Offensichtlich sind diese beiden Ausdrücke gleich.

3. 

   
   
   Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation auf das Factoring algebraischer Gleichungen an. Mit Ihrem jeweiligen Wissen, wie isolierte Zahlen oder Variablen mit Koeffizienten herausgerechnet werden können, können Sie algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie die Faktoren ermitteln, die Zahlen und Variablen gemeinsam haben. Um eine Gleichung so einfach wie möglich zu gestalten, werden wir normalerweise versuchen, nach dem größten gemeinsamen Faktor zu suchen. Dieser Vereinfachungsprozess ist aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation möglich, die definiert, dass für beliebige Zahlen a, b und c, a (b + c) = ab + ac.
   • Versuchen wir ein Beispielproblem. Um die algebraische Gleichung 12x + 6 zu faktorisieren, versuchen wir zunächst, den größten gemeinsamen Faktor zwischen 12x und 6 zu finden. Die Zahl 6 ist die größte, die sowohl 12x als auch 6 gleichmäßig teilt, und daher können wir die Gleichung auf 6 (2x +) vereinfachen 1).
   • Dieser Prozess gilt auch für Gleichungen mit negativen Zahlen und Brüchen. x / 2 + 4 kann zum Beispiel auf 1/2 (x + 8) vereinfacht werden, und -7x + -21 kann auf -7 (x + 3) berücksichtigt werden.

Methode 2 von 2: Faktorisierung quadratischer Gleichungen

1. 

   
   
   Stellen Sie sicher, dass die Gleichung die quadratische Form hat. Quadratische Gleichungen haben die Form ax + bx + c = 0, wobei a, b und c die numerischen Konstanten sind und a ungleich 0 ist (beachten Sie, dass die können gleich 1 oder -1). Wenn Sie eine Gleichung haben, die eine Variable (x) enthält, bei der ein oder mehrere Terme von x auf die zweite Potenz angehoben sind, ist es normalerweise möglich, ihre Terme mit grundlegenden algebraischen Operationen so anzupassen, dass auf der einen Seite der Gleichheit 0 und auf der anderen x steht.
   • Betrachten Sie zum Beispiel die algebraische Gleichung 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18, die zu x + 6x + 9 = 0 vereinfacht werden kann und in quadratischer Form vorliegt.
   • Gleichungen mit Begriffen größer als x, wie z. B. x3, x usw. Sie können nicht als quadratisch betrachtet werden. Sie sind kubisch, quartisch usw., es sei denn, die Gleichung kann vereinfacht werden, um Terme von x mit einer Potenz von mehr als 2 zu eliminieren.

2. 

   In quadratischen Gleichungen mit a = 1 ist es möglich, sie in (x + d) (x + e) ​​zu faktorisieren, wobei d × e = c und d + e = b. Wenn die quadratische Gleichung die Form x + bx + c = 0 hat (mit anderen Worten, wenn der Koeffizient des Terms x gleich 1 ist), ist es möglich (obwohl nicht garantiert), dass eine relativ einfache Verknüpfung verwendet werden kann, um sie herauszufiltern . Finden Sie zwei Zahlen, die sich multiplizieren, um c zu ergeben und das summiert sich zu b. Wenn Sie diese beiden Zahlen d und e gefunden haben, geben Sie sie in den folgenden Ausdruck ein: (x + d) (x + e). Wenn diese beiden Terme miteinander multipliziert werden, ergibt sich die gewünschte quadratische Gleichung - mit anderen Worten, sie sind die Faktoren Ihrer quadratischen Gleichung.
   • Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung x + 5x + 6 = 0. Die Zahlen 3 und 2 multiplizieren sich zu 6 und addieren sich zu 5, so dass wir die Gleichung im Ausdruck (x + 3) vereinfachen können ( x + 2).
   • Für die verschiedenen Variationen von Gleichungen gibt es kleine Variationen in dieser grundlegenden Verknüpfung:
     • Wenn die quadratische Gleichung die Form x - bx + c hat, wird Ihre Antwort wie folgt geschrieben: (x - _) (x - _).
     • Wenn es die Form x + bx + c hat, wird Ihre Antwort wie folgt geschrieben: (x + _) (x + _).
     • Wenn es die Form x - bx - c hat, wird Ihre Antwort als (x + _) (x - _) geschrieben.
   • Hinweis: Leerzahlen können Brüche oder Dezimalstellen sein. Zum Beispiel kann die Gleichung x + (21/2) x + 5 = 0 in (x + 10) (x + 1/2) berücksichtigt werden.

3. 

   Wenn möglich, durch Inspektion berücksichtigen. Ob Sie es glauben oder nicht, bei unkomplizierten quadratischen Gleichungen. Eine der akzeptierten Formen des Factorings besteht darin, das Problem einfach zu untersuchen und dann die möglichen Antworten zu prüfen, bis Sie die richtige gefunden haben. Dieser Prozess wird auch als Inspektionsfaktor bezeichnet. Wenn die Gleichung die Form ax + bx + c und c> 1 hat, hat die faktorisierte Antwort die Form (dx +/- _) (ex +/- _), wobei d und numerische Konstanten ungleich Null sind, die sich multiplizieren, um a zu ergeben . Sowohl d als auch e (oder beide) können Nummer 1 sein, obwohl dies nicht unbedingt immer passiert. Wenn beide 1 sind, haben Sie im Wesentlichen die zuvor beschriebene Verknüpfung verwendet.
   • Betrachten Sie ein Beispielproblem. 3x - 8x + 4 kann auf den ersten Blick einschüchternd wirken. Wenn wir jedoch erkennen, dass 3 nur zwei Faktoren hat (3 und 1), wird die Gleichung einfacher, da wir wissen, dass die Antwort die Form (3x +/- _) (x +/- _) annehmen wird. In diesem Fall erhalten Sie durch Hinzufügen eines -2 zu beiden Leerzeichen die richtige Antwort. -2 × 3x = -6x und -2 × x = -2x. Die Summe von -6x und -2x ergibt -8x, und die Multiplikation von -2 mit 2 ergibt 4, so dass wir die in Klammern berücksichtigten Terme bereits in der Multiplikation sehen können, die zur ursprünglichen Gleichung führt.

4. 

   Lösen Sie das Problem, indem Sie das Quadrat ausfüllen. In einigen Fällen können quadratische Gleichungen mithilfe einer speziellen algebraischen Identität schnell und einfach berücksichtigt werden. Jede quadratische Gleichung in der Form x + 2xh + h = (x + h). Wenn also in Ihrer Gleichung der Wert b doppelt so groß wie die Quadratwurzel seines Wertes c ist, kann die Gleichung in (x + (√c)) berücksichtigt werden.
   • Zum Beispiel passt die Gleichung x + 6x + 9 zu diesem Format. 3 ist gleich 9 und 3 × 2 ist gleich 6. Somit wissen wir, dass die faktorisierte Form dieser Gleichung gleich (x + 3) (x + 3) oder (x + 3) ist.

5. 

   Verwenden Sie Faktoren, um quadratische Gleichungen zu lösen. Unabhängig davon, wie Sie Ihren quadratischen Ausdruck faktorisieren, können Sie nach Berücksichtigung des Faktors Antworten auf den Wert von x finden, indem Sie jeden Faktor gleich Null setzen und ihn lösen. Da Sie nach Werten von x suchen, die die Gleichung gleich Null machen, ist ein Wert von x, der einem der Faktoren gleich Null ist, eine mögliche Antwort auf Ihre quadratische Gleichung.
   • Kehren wir zur Gleichung x + 5x + 6 = 0 zurück. Diese Gleichung wird unter Berücksichtigung von (x + 3) (x + 2) = 0 berücksichtigt. Wenn einer der Faktoren gleich 0 ist, ist die gesamte Gleichung gleich 0, so dass dies möglich ist Antworten auf x sind die Zahlen, die (x + 3) und (x + 2) gleich 0 machen. Sie sind -3 bzw. -2.

6. 

   Überprüfen Sie ihre Antworten - einige von ihnen können seltsam sein! Wenn Sie die möglichen Antworten auf x gefunden haben, setzen Sie sie wieder in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu prüfen, ob sie gültig sind. Manchmal fanden die Antworten Nein Machen Sie die ursprüngliche Gleichung gleich Null, wenn Sie sie wieder einfügen. Wir nennen diese Gleichungen Seltsam und wir ignorieren sie.
   • Setzen wir -2 und -3 in die Gleichung x + 5x + 6 = 0. Zuerst -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. Diese Antwort ist wahr, also ist -2 eine gültige Antwort.
   • Versuchen wir jetzt -3:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. Diese Antwort ist auch wahr, also ist -3 auch eine gültige Antwort.

7. 

   Wenn die Gleichung die Form a - b hat, faktorisieren Sie sie in die Form (a + b) (a - b). Gleichungen mit zwei Variablen werden anders als das Grundquadrat berücksichtigt. Für jede Gleichung a - b, bei der a und b nicht gleich 0 sind, wird die Gleichung in (a + b) (a - b) berücksichtigt.
   • Zum Beispiel ist die Gleichung 9x - 4y = (9x + 4y) (9x - 4y).

8. 

   Wenn die Gleichung die Form a + 2ab + b hat, rechnen Sie sie mit (a + b) aus. Beachten Sie, dass, wenn das Trinom die Form a - 2ab + b hat, die faktorisierte Form geringfügig anders ist: (a - b).
   • Die Gleichung 2x + 16xy + 4y kann als 2x + (2 × 2 × 4) xy + 4y umgeschrieben werden. Es ist jetzt möglich zu sehen, dass es in seiner korrekten Form vorliegt, so dass wir sicher sagen können, dass die Faktoren der Gleichung als (2x + 4y) platziert werden können.

9. 

   Wenn die Gleichung die Form a - b hat, rechnen Sie sie mit (a - b) (a + ab + b) aus. Schließlich ist es wichtig zu erwähnen, dass Gleichungen kubischer oder höherer Ordnung berücksichtigt werden können, obwohl der Prozess schnell unglaublich komplizierter wird.
   • Zum Beispiel wird 2x - 3y als (2x - 3y) (2x + ((2x) (3y)) + 3y) berücksichtigt.

Tipps

• a - b ist faktisch, a + b jedoch nicht.
• Denken Sie daran, wie Konstanten zu faktorisieren sind - dies kann helfen.
• Kümmere dich um Fraktionen im Factoring-Prozess und arbeite korrekt und sorgfältig mit ihnen.
• Wenn Sie ein Trinom in der Form x + bx + (b / 2) haben, lautet die faktorisierte Form (x + (b / 2)).
• Denken Sie daran, dass a0 = 0 (Produkteigenschaft Null).

Notwendige Materialien

• Papier
• Bleistift
• Mathematikbuch (falls erforderlich)