Inhalt

• Schritte
• Tipps
• Warnungen

Inverse Operationen werden im Allgemeinen in der Algebra verwendet, um Operationen zu vereinfachen, die sonst schwieriger wären. Wenn Sie beispielsweise aufgrund eines Problems aufgefordert werden, durch einen Bruch zu teilen, ist es einfacher, mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Dieser Fall ist eine umgekehrte Operation. In ähnlicher Weise ist es notwendig, mit der inversen Matrix zu multiplizieren, da es keinen Divisionsoperator für Matrizen gibt. Das Berechnen der Umkehrung einer 3x3-Matrix von Hand ist eine ziemlich mühsame Aufgabe, aber es lohnt sich, sie zu überarbeiten. Sie können die inverse Matrix auch mit einem erweiterten Grafikrechner finden.

Schritte

Methode 1 von 3: Erstellen der Zusatzmatrix, um die Umkehrung zu finden

1. 

   Berechnen Sie die Determinante der Matrix. In einem ersten Schritt müssen Sie die Determinante der Matrix berechnen. Wenn es gleich 0 ist, ist Ihr Job beendet, da die Matrix keine Inverse hat. Die Determinante der Matrix M kann symbolisch als Det (M) dargestellt werden.
   • Um die Umkehrung einer 3x3-Matrix zu finden, müssen Sie zuerst die Determinante berechnen.
   • Um sich an die Determinantenberechnung zu erinnern, lesen Sie "So finden Sie die Determinante einer 3x3-Matrix’.

2. 

   
   
   Transponieren Sie die ursprüngliche Matrix. Das Transponieren einer Matrix besteht darin, sie auf der Hauptdiagonale zu reflektieren oder auf äquivalente Weise die Elemente (i, j) gegen (j, i) auszutauschen. Wenn Sie die Matrixterme transponieren, werden Sie feststellen, dass sich die Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) nicht ändert.
   • Eine andere Art, über Transposition nachzudenken, besteht darin, die erste Zeile anstelle der ersten Spalte, die zweite Zeile anstelle der mittleren Spalte und die dritte Zeile anstelle der letzten Spalte neu zu schreiben. Schauen Sie sich die farbigen Elemente im obigen Diagramm an und sehen Sie, wo sich die Position der Zahlen geändert hat.

3. 

   
   
   Berechnen Sie die Determinante jeder der kleineren 2x2-Matrizen. Jedes Element in der neuen transponierten 3x3-Matrix ist einer "kleineren" 2x2-Matrix zugeordnet. Um die kleinste Matrix für jeden Term zu berechnen, markieren Sie die Zeile und Spalte des ursprünglichen Terms. Es sollte fünf Werte aus der Matrix enthalten. Die verbleibenden vier Werte bilden wiederum die kleinere Matrix.
   • Wenn Sie im obigen Beispiel die kleinere Matrix des Begriffs in der zweiten Zeile der ersten Spalte verwenden möchten, markieren Sie die fünf Werte in der zweiten Zeile und der ersten Spalte. Die verbleibenden vier Terme bilden die kleinere Matrix.
   • Berechnen Sie die Determinante jeder kleineren Matrix, indem Sie die Diagonalen kreuzen und wie oben gezeigt subtrahieren.

4. 

   
   
   Erstellen Sie die Matrix der Cofaktoren. Platzieren Sie die Ergebnisse des vorherigen Schritts in einer neuen Co-Faktor-Matrix und richten Sie jede kleinere Matrix an der entsprechenden Position in der ursprünglichen Matrix aus. Somit befindet sich die aus Punkt (1.1) der ursprünglichen Matrix berechnete Determinante in Position (1.1). Als nächstes müssen Sie das Vorzeichen alternativer Begriffe in dieser neuen Matrix umkehren, gefolgt von dem oben gezeigten "Brett" -Muster.
   • Beim Definieren von Signalen behält das erste Element der ersten Zeile sein ursprüngliches Signal bei. Das zweite Element wird wiederum invertiert, während das dritte beim ursprünglichen Signal verbleibt. Fahren Sie auf die gleiche Weise in der gesamten Matrix fort. Beachten Sie, dass die Vorzeichen (+) oder (-) im Diagramm nicht bedeuten, dass der Endterm positiv oder negativ sein muss. Sie sind Indikatoren dafür, dass das Vorzeichen, das die Zahl zu Beginn hatte, beibehalten (+) oder invertiert (-) werden muss.
   • Das Endergebnis dieses Schritts wird als Zusatzmatrix des Originals bezeichnet. Es wird als Adj (M) ausgedrückt.

5. 

   Teilen Sie jeden Term in der angehängten Matrix durch die Determinante. Nehmen Sie den im ersten Schritt berechneten Wert der Determinante von M (um zu beweisen, dass die Umkehrung möglich war) und dividieren Sie nun jeden Term in der Matrix durch diesen Wert. Platzieren Sie das Ergebnis jeder Berechnung im Feld des ursprünglichen Terms. Das Ergebnis entspricht der Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
   • Für die im Diagramm gezeigte Beispielmatrix ist die Determinante gleich 1. Daher führt das Teilen jedes Terms in der Zusatzmatrix zu sich selbst (Sie werden nicht immer so viel Glück haben).
   • Anstatt zu teilen, repräsentieren einige Quellen diesen Schritt, indem sie jeden Term von M mit 1 / Det (M) multiplizieren. Mathematisch sind beide gleichwertig.

Methode 2 von 3: Verwenden der linearen Reduktion zur Berechnung der inversen Matrix

1. 

   Fügen Sie die Identitätsmatrix zum Original hinzu. Schreiben Sie die ursprüngliche Matrix M, machen Sie eine vertikale Linie rechts davon und schreiben Sie dann die Identitätsmatrix rechts von der Linie. Sie haben nun eine Matrix mit drei Zeilen und sechs Spalten.
   • Denken Sie daran, dass die Identitätsmatrix ein spezieller Typ ist, der 1 Werte in jedem der Felder auf der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten und 0 Werte in allen anderen enthält.

2. 

   Führen Sie lineare Reduktionsvorgänge durch. Ziel ist es, die Identitätsmatrix auf der rechten Seite dieser erweiterten Matrix zu erstellen. Während der linearen Reduktion auf der linken Seite müssen dieselben Operationen auf der rechten Seite ausgeführt werden, die als Identitätsmatrix begonnen haben.
   • Denken Sie daran, dass lineare Reduktionen als Kombination aus Skalarmultiplikation und linearen Additions- oder Subtraktionsoperationen durchgeführt werden, um einzelne Terme von der Matrix zu isolieren.

3. 

   Fahren Sie fort, bis Sie die Identitätsmatrix gebildet haben. Nehmen Sie weitere lineare Reduzierungen vor, bis auf der linken Seite der erweiterten Matrix die Identitätsmatrix angezeigt wird (Diagonale mit den Werten 1 und den Werten 0 in den verbleibenden Feldern). Bei Erreichen dieses Punktes entspricht die rechte Seite des vertikalen Teilers der Umkehrung der ursprünglichen Matrix.

4. 

   Schreiben Sie die inverse Matrix. Kopieren Sie die Elemente, die jetzt auf der rechten Seite des vertikalen Teilers angezeigt werden, als inverse Matrix.

Methode 3 von 3: Verwenden eines Taschenrechners zur Berechnung der inversen Matrix

1. 

   Wählen Sie einen Taschenrechner, mit dem Matrizen berechnet werden können. Einfache Taschenrechner mit vier Operationen können Ihnen nicht direkt bei der Berechnung der inversen Matrix helfen. Aufgrund der sich wiederholenden Berechnungen kann ein fortschrittlicher Grafikrechner wie der Texas Instruments TI-83 oder TI-86 Ihre Arbeit erheblich erleichtern.

2. 

   Fügen Sie die Matrix in den Taschenrechner ein. Geben Sie zunächst die Matrixfunktion in den Taschenrechner ein, indem Sie die Taste drücken Matrix, Falls vorhanden. Bei Taschenrechnern von Texas Instruments müssen Sie möglicherweise drücken 2 Matrix.

3. 

   Gehen Sie zum Untermenü Bearbeiten. Je nach Modell müssen Sie möglicherweise die Pfeile verwenden oder die entsprechende Funktionstaste oben auf dem Ziffernblock des Rechners auswählen.

4. 

   Bestimmen Sie einen Namen für die Matrix. Die meisten Taschenrechner können mit drei bis zehn Arrays arbeiten, die mit den Buchstaben A bis J gekennzeichnet sind. Normalerweise starten Sie den Job einfach. Drücken Sie die Taste Eingeben nach der Auswahl.

5. 

   Legen Sie die Abmessungen der Matrix fest. In den Beispielen arbeiten wir mit 3x3-Matrizen, aber der Rechner kann größere Größen verarbeiten. Geben Sie die Anzahl der gewünschten Zeilen ein und drücken Sie EingebenGeben Sie die Anzahl der Spalten ein und drücken Sie erneut Eingeben.

6. 

   Fügen Sie jedes Element der Matrix ein. Auf dem Taschenrechnerbildschirm wird eine Matrix angezeigt. Wenn Sie bereits Änderungen an der entsprechenden Funktion vorgenommen haben, wird die definierte Matrix auf dem Bildschirm angezeigt. Der Cursor löst seinerseits das erste seiner Elemente. Geben Sie den Wert der Matrix ein, die Sie suchen möchten, und drücken Sie Eingeben. Der Cursor bewegt sich automatisch zum nächsten Element in der Matrix und überschreibt andere vorherige Werte.
   • Wenn Sie eine negative Zahl eingeben möchten, können Sie die Taste (-) auf Ihrem Rechner verwenden, anstatt zu subtrahieren. Andernfalls liest die Matrixfunktion die Nummer nicht richtig.
   • Bei Bedarf können Sie die Pfeile des Rechners verwenden, um sich in der Matrix zu bewegen.

7. 

   Beenden Sie die Matrixfunktion. Nachdem Sie alle erforderlichen Werte eingegeben haben, drücken Sie die Taste Verlassen (oder 2 Beenden, im Bedarfsfall). Dadurch wird die Matrixfunktion verlassen und zum Hauptbildschirm Ihres Rechners zurückgekehrt.

8. 

   Verwenden Sie den inversen Schlüssel, um die inverse Matrix zu finden. Öffnen Sie zunächst die Funktion erneut und drücken Sie die Taste Namen um das Etikett zu wählen, das in Ihrem Mutterunternehmensnamen verwendet wird (möglicherweise). Drücken Sie dann die Rückwärts-Taste am Taschenrechner. Dazu müssen Sie möglicherweise die Schaltfläche verwenden 2, je nach Modell. In diesem Fall wird der Bildschirm angezeigt. Drücken Sie Eingeben und die inverse Matrix erscheint auf Ihrem Bildschirm.
   • Verwenden Sie nicht die Taste ^ des Rechners, um zu versuchen, A ^ -1 separat zu schreiben. Die Maschine wird diesen Vorgang nicht verstehen.
   • Wenn Sie beim Drücken der Inverse-Matrix-Taste eine Fehlermeldung erhalten, ist die ursprüngliche Matrix möglicherweise nicht invers. Sie können die Determinante zurückgeben und berechnen, um diesen Verdacht zu bestätigen.

9. 

   Konvertieren Sie die inverse Matrix in genaue Antworten. Die erste Operation, die der Rechner ausführt, ist im Dezimalformat und wird in den meisten Fällen nicht als "genau" angesehen. Sie sollten Dezimalantworten nach Bedarf in Bruchform konvertieren (wenn Sie Glück haben, sind die Ergebnisse vollständig, dies ist jedoch selten).
   • Der Rechner hat wahrscheinlich eine Funktion, die Dezimalstellen automatisch in Brüche umwandelt. Wenn Sie beispielsweise einen TI-86 verwenden, geben Sie die Funktion ein Mathematik, wählen Sonstiges und Fracdrücken Eingeben Nächster. Dezimalstellen werden automatisch als Brüche angezeigt.

Tipps

• Sie können die obigen Schritte ausführen, um die Umkehrung einer Matrix zu berechnen, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, Unbekannte oder sogar algebraische Ausdrücke enthält.
• Schreiben Sie alle Schritte auf, da es sehr schwierig ist, die Inverse einer 3x3-Kopfmatrix zu berechnen.
• Es gibt Computerprogramme, die die Matrixumkehrungen für Sie berechnen, selbst wenn Sie mit einer Größe von 30 x 30 oder größer arbeiten.
• Überprüfen Sie die Genauigkeit Ihres Ergebnisses unabhängig von der gewählten Methode, indem Sie M mit M multiplizieren. Auf diese Weise können Sie bestätigen, dass M * M = M * M = I. I die Identitätsmatrix darstellt, die aus Werten besteht 1 in der Hauptdiagonale und 0 Werte in den anderen Räumen. Ist dies nicht der Fall, haben Sie sich möglicherweise irgendwo geirrt.

Warnungen

• Nicht alle 3x3-Matrizen haben Inversen. Wenn die Determinante der Matrix gleich 0 ist, zeigt dies an, dass sie keine Inverse hat (beachten Sie, dass wir in der Formel eine Division durch Det (M) vorgenommen haben - eine Division durch Null wird als undefiniert betrachtet).