3 Möglichkeiten zum Multiplizieren von Binomen - Enzyklopädie

Video: 1. binomische Formel - einfach erklärt mit Beispielen | Mathematik | Lehrerschmidt

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Binome sind kleine mathematische Ausdrücke, die aus einer Variablen (x, a, 3x, 4t, 1090y) bestehen, die zu einer Konstanten (1, 3, 110 usw.) addiert oder von dieser subtrahiert wird. Binome enthalten immer nur zwei Terme, aber sie sind Bestandteile von viel größeren und komplexeren Gleichungen, die als Polynome bekannt sind, was dieses Lernen äußerst wichtig macht. In diesem Artikel werden die verschiedenen Arten von Binomialmultiplikationen beschrieben, sie können jedoch auch separat erlernt werden.

Schritte

Methode 1 von 3: Multiplizieren von zwei Binomen

Verstehen Sie das mathematische Vokabular und die Fragetypen. Es ist unmöglich, die Fragen für Ihre nächste Prüfung zu lösen, wenn Sie nicht wissen, was sie stellen. Glücklicherweise ist die Terminologie ziemlich einfach:
- Bedingungen: Ein Term ist einfach ein Teil der Gleichung, die addiert oder subtrahiert wird. Es kann eine Konstante, eine Variable oder beides sein. In 12 + 13x + 4x lauten die Begriffe beispielsweise 12,13x, und 4x.
- Binomial: Dies ist nur eine komplizierte Art, „einen Ausdruck mit zwei Begriffen“ zu sagen x + 3 oder x - 3x.
- Befugnisse: Dies bezieht sich auf einen Exponenten eines Begriffs. Zum Beispiel können Sie sagen, dass x "x à" ist zweite Potenz oder auf zwei erhöht.’
- Bei jeder Frage mit der Frage "Finden Sie die Terme zweier Binome (x + 3) (x + 2)", "Finden Sie das Produkt zweier Binome" oder "Erweitern Sie die beiden Binome" werden Sie aufgefordert, die beiden Binome zu multiplizieren.
Lernen Sie das Akronym FOIL, um sich an die Reihenfolge der Binomialmultiplikation zu erinnern. FOIL ist eine englische Methode, um die Multiplikation zweier Binome zu steuern. FOIL bedeutet die Reihenfolge, in der Sie die Teile der Binome multiplizieren müssen: F bedeutet Zuerst (Erstens) ist O. Draußen (Von außen) meine ich Innere (Von innen) und L ist für Letzte (Zuletzt) - Erst die draußen, dann die drinnen. Die Namen beziehen sich auf die Reihenfolge, in der die Begriffe geschrieben sind. Angenommen, Sie multiplizieren die Binome (x + 2) und (x + 5). Die Bedingungen wären:
- Zuerst: x & x
- Äußere: x & 5
- Innere: 2 & x
- Letzte: 2 & 5
Multiplizieren Sie den ERSTEN Teil in jeder Klammer. Dies ist das "F" für FOIL. In unserem Beispiel (x + 2) (x + 5) sind die ersten Terme "x" und "x". Multiplizieren Sie sie und schreiben Sie die Antwort: "x".
- Erste Begriffe: x * x = x
Multiplizieren Sie die AUSSEN-Teile jeder Klammer. Dies sind die äußersten „Tipps“ unseres Problems. In unserem Beispiel (x + 2) (x + 5) wären diese Tipps also "x" und "5". Zusammen ergeben sie "5x"
- Externe Begriffe: x * 5 = 5x
Multiplizieren Sie die Teile von INNERHALB jeder Klammer. Die beiden Zahlen, die dem Zentrum am nächsten liegen, sind der Begriff im Inneren. In (x + 2) (x + 5) bedeutet dies, dass Sie "2" mit "x" multiplizieren müssen, um "2x" zu erhalten.
- Insider-Begriffe: 2 * x = 2x
Multiplizieren Sie die LETZTEN Teile jeder Klammer. Dies Nein bedeutet die letzten beiden Zahlen, aber die letzte Zahl in jeder Klammer. Daher multiplizieren Sie in (x + 2) (x + 5) "2" und "5", um "10" zu erhalten.
- Letzte Bedingungen: 2 * 5 = 10
Fügen Sie alle Begriffe hinzu. Kombinieren Sie die Begriffe, indem Sie sie addieren, um einen neuen und größeren Ausdruck zu erstellen. Aus dem vorherigen Beispiel erhalten wir die Gleichung:
- x + 5x + 2x + 10
Vereinfachen Sie die Bedingungen. Ähnliche Begriffe sind Teile einer Gleichung, die dieselbe Variable und Potenz haben. In unserem Beispiel teilen sich die Begriffe 2x und 5x das x und können addiert werden. Es gibt keinen ähnlichen Begriff mehr, daher bleiben sie unberührt.
- Letzte Antwort: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
- Hinweis für Fortgeschrittene: Denken Sie an die Grundlagen der Multiplikation, um zu erfahren, wie ähnliche Begriffe funktionieren. 3 * 5 bedeutet beispielsweise, dass Sie die fünf dreimal addieren, um 15 (5 + 5 + 5) zu erhalten. In unserer Gleichung haben wir 5 * x (x + x + x + x + x) und 2 * x (x + x). Wenn wir alle "x" in der Gleichung addieren, erhalten wir sieben "x" oder 7x.
Denken Sie daran, dass die subtrahierten Zahlen negativ sind. Wenn eine Zahl subtrahiert wird, entspricht dies dem Hinzufügen einer negativen Zahl. Wenn Sie vergessen, das Minuszeichen in den Berechnungen beizubehalten, erhalten Sie die falsche Antwort. Nehmen Sie das Beispiel (x + 3) (x-2):
- Zuerst: x * x = x
- Aus: x * -2 = -2x
- Von innen: 3 * x = 3x
- Neueste: 3 * -2 = -6
- Alle Begriffe hinzufügen: x - 2x + 3x - 6
- Vereinfachen Sie die Antwort:x + x - 6

Methode 2 von 3: Multiplizieren von mehr als zwei Binomen

Multiplizieren Sie die ersten beiden Binome und ignorieren Sie vorübergehend das dritte. Nehmen Sie das Beispiel (x + 4) (x + 1) (x + 3). Wir müssen jeweils ein Binom multiplizieren, also multiplizieren Sie zwei mit FOIL oder Termverteilung. Das Multiplizieren der ersten beiden (x + 4) und (x + 1) mit FOIL ergibt Folgendes:
- Zuerst: x * x = x
- Aus: 1 * x = x
- Von innen: 4 * x = 4x
- Neueste: 1*4 = 4
- Kombinieren Sie die Begriffe: x + x + 4x + 4
- (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4
Kombinieren Sie das verbleibende Binom mit der neuen Gleichung. Nachdem dieser Teil der Gleichung multipliziert wurde, können Sie mit dem verbleibenden Binomial umgehen. In dem Beispiel (x + 4) (x + 1) (x + 3) ist der verbleibende Term (x + 3). Setzen Sie es mit der neuen Gleichung zusammen und haben Sie: (x + 3) (x + 5x + 4).
Multiplizieren Sie die erste Zahl im Binom mit allen drei Zahlen in der anderen Klammer. Es geht um die Verteilung von Begriffen. Daher müssen Sie in Gleichung (x + 3) (x + 5x + 4) das erste x mit den drei Teilen der zweiten Klammer "x", "5x" und "4" multiplizieren.
- (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
- Schreiben Sie diese Antwort auf und speichern Sie sie für später.
Multiplizieren Sie die zweite Zahl im Binom mit allen drei Zahlen in der anderen Klammer. Nehmen Sie die Gleichung (x + 3) (x + 5x + 4). Multiplizieren Sie nun den zweiten Teil des Binomials mit allen drei Teilen der anderen Klammern "x", "5x" und "4".
- (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
- Schreiben Sie diese Antwort in die Nähe der ersten.
Addieren Sie die beiden Produkte der Multiplikation. Sie müssen die Antworten aus den beiden vorherigen Schritten kombinieren, da sie die beiden Teile Ihrer endgültigen Antwort bilden.
- x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12
Vereinfachen Sie die Gleichung, um die endgültige Antwort zu erhalten. Jeder "ähnliche" Begriff oder Begriffe, die dieselbe Variable und Potenz haben (wie 5x und 3x), kann hinzugefügt werden, um die Antwort zu vereinfachen.
- 5x und 3x bilden 8x
- 4x und 15x bilden 19x
- (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12
Verwenden Sie immer die Verteilung, um größere Multiplikationsprobleme zu lösen. Da Sie die Termverteilung verwenden können, um Gleichungen beliebiger Länge zu multiplizieren, verfügen Sie jetzt über die Werkzeuge, die Sie zur Lösung größerer Probleme benötigen, z. B. (x + 1) (x + 2) (x + 3). Multiplizieren Sie zwei Binome mit der Termverteilung oder FOIL und multiplizieren Sie dann mit der Termverteilung das endgültige Binom mit den ersten beiden. Im folgenden Beispiel verwenden wir FOIL (x + 1) (x + 2) und verteilen dann die Begriffe mit (x + 3), um die endgültige Antwort zu erhalten:
- (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
- (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
- (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
- (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
- Vereinfachen Sie die Antwort:x + 6x + 11x + 6

Methode 3 von 3: Quadrieren von Binomen

Verstehen Sie, wie Sie „allgemeine Formeln“ organisieren. Mit den allgemeinen Formeln können Sie einfach die Zahlen anpassen, anstatt jedes Mal die FOLIE zu berechnen. Binome, die auf die zweite Potenz (oder das Quadrat) wie (x + 2) oder auf die dritte Potenz wie (4y + 12) angehoben werden, können einfach in eine bereits vorhandene Formel eingepasst werden, wodurch die Auflösung schneller und schneller wird Einfacher. Um die allgemeine Formel zu finden, ersetzen wir alle Zahlen durch Variablen. Am Ende können wir dann einfach die Zahlen wieder in die Antwort einfügen. Beginnen Sie mit Gleichung (a + b), wobei:
- Das ist der variable Term (as 4y - 1, 2x + 3 usw.). Wenn es keine Zahl gibt, ist a = 1, da 1 * x = x.
- B. ist die Konstante, die addiert oder subtrahiert wird (wie x + 10, t - 12).
Finden Sie heraus, welche quadratischen Binome umgeschrieben werden können. (a + b) mag komplizierter erscheinen als unser vorheriges Beispiel, aber denken Sie daran Das Quadrieren einer Zahl multipliziert sie einfach mit sich selbst. Sie können die Gleichung also neu schreiben, damit sie vertrauter aussieht:
- (a + b) = (a + b) (a + b)
Verwenden Sie die FOIL-Methode, um die neue Gleichung zu lösen. Wenn wir in dieser Gleichung FOIL verwenden, erhalten wir eine allgemeine Formel, die wie die Lösung für jede Binomialmultiplikation aussieht. Denken Sie daran, dass bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren das Ergebnis nicht ändert.
- Schreiben Sie als (a + b) (a + b) um.
- Zuerst: a * a = a
- Von innen: b * a = ba
- Aus: a * b = ab
- Neueste: b * b = b.
- Fügen Sie die neuen Begriffe hinzu: a + ba + ab + b
- Kombinieren Sie ähnliche Begriffe: a + 2ab + b
- Hinweis für Fortgeschrittene: Multiplikations- und Divisionseigenschaften funktionieren für Exponenten nicht. (a + b) ist nicht dasselbe wie + b. Dies ist ein sehr häufiger Fehler, den Menschen machen.
Verwenden Sie die allgemeine Gleichung a + 2ab + b, um Ihre Probleme zu lösen. Nimm die Gleichung (x + 2). Anstatt FOIL erneut zu verwenden, können wir den ersten Term in „a“ und den zweiten Term in „b“ einpassen:
- Allgemeine Gleichung: a + 2ab + b
- a = x, b = 2
- x + (2 * x * 2) + 2
- Letzte Antwort: x + 4x + 4.
- Sie können Ihre Berechnungen jederzeit überprüfen, indem Sie FOIL in der ursprünglichen Gleichung (x + 2) (x + 2) ausführen. Sie erhalten immer die gleiche Antwort, wenn die Berechnung korrekt durchgeführt wurde.
- Wenn ein Term subtrahiert wird, muss er in der allgemeinen Gleichung immer noch negativ bleiben.
Denken Sie daran, den gesamten Term in die allgemeine Gleichung einzufügen. Denken Sie angesichts des Binomials (2x + 3) daran, dass a = 2x und nicht nur a = 2. Wenn Sie komplexere Terme haben, müssen Sie berücksichtigen, dass sowohl 2 als auch x quadratisch sind.
- Allgemeine Gleichung: a + 2ab + b
- Ersetzen Sie a und b: (2x) + 2 (2x) (3) + 3
- Erhöhen Sie jeden Term zum Quardado: (2) (x) + 14x + 3
- Vereinfachen Sie die Antwort: 4x + 14x + 9