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Traditionell kann eine radikale oder irrationale Zahl nicht im Nenner (unten) eines Bruchs verbleiben. Wenn ein Radikal im Nenner erscheint, müssen Sie den Bruch mit einem Begriff oder einer Reihe von Begriffen multiplizieren, die diesen radikalen Ausdruck entfernen können. Während die Verwendung von Taschenrechnern die Rationalisierung von Brüchen etwas veraltet macht, kann diese Technik noch im Unterricht getestet werden.

Schritte

Methode 1 von 4: Rationalisierung eines Monomialnenners

1. 

   Untersuche die Fraktion. Ein Bruch wird korrekt geschrieben, wenn der Nenner kein Radikal enthält. Wenn der Nenner eine Quadratwurzel oder ein anderes Radikal enthält, müssen Sie sowohl die obere als auch die untere mit einer Zahl multiplizieren, die dieses Radikal entfernen kann. Beachten Sie, dass der Zähler ein Radikal enthalten kann, aber machen Sie sich keine Sorgen um den Zähler.
   • Wir können sehen, dass es einen im Nenner gibt.

2. 

   
   
   Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Radikal im Nenner. Ein Bruch mit einem Monomialterm im Nenner ist am einfachsten zu rationalisieren. Sowohl der obere als auch der untere Teil des Bruchs müssen mit demselben Term multipliziert werden, da Sie tatsächlich mit 1 multiplizieren.
   • Wenn Sie Ihr Problem in einen Taschenrechner eingeben, müssen Sie jede Gleichung in Klammern setzen, um sie getrennt zu halten.

3. 

   
   
   Bei Bedarf vereinfachen. Vervollständige die Gleichung, die du gerade hast, um sie auf die kleinste Form zu bringen. In diesem Fall löschen Sie den gemeinsamen Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner (7).

Methode 2 von 4: Rationalisierung eines Binomialnenners

1. Untersuche die Fraktion. Wenn Ihr Bruch eine Summe von zwei Begriffen im Nenner enthält, von denen mindestens einer irrational ist, können Sie den Bruch im Zähler und Nenner nicht damit multiplizieren.
   • Um zu sehen, warum dies der Fall ist, schreiben Sie einen beliebigen Bruch, wo und sind irrational. Dann enthält der Ausdruck a befristet Wenn mindestens eines von und irrational ist, enthält der Kreuzterm ein Radikal.
   • Mal sehen, wie das mit unserem Beispiel funktioniert.
   • Wie Sie sehen, können wir den Nenner danach auf keinen Fall loswerden.

2. 

   
   
   Multiplizieren Sie den Bruch mit dem Konjugat des Nenners. Das Konjugat eines Ausdrucks ist der gleiche Ausdruck mit umgekehrtem Vorzeichen. Zum Beispiel ist das Konjugat von
   • Warum funktioniert das Konjugat? Zurück zu unserem beliebigen Bruch, der mit dem Konjugat im Zähler und Nenner multipliziert wird, führt dazu, dass der Nenner der Schlüssel ist. Der Schlüssel hier ist, dass es keine Kreuzterme gibt. Da diese beiden Terme quadriert werden, werden alle Quadratwurzeln entfernt.

3. 

   Bei Bedarf vereinfachen. Nehmen Sie den Bruch in seine einfachste Form, indem Sie den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner finden. In diesem Fall ist 4 - 2 = 2, mit dem Sie die untere Zahl aufheben können.

Methode 3 von 4: Arbeiten mit Wechselwirkungen

1. 

   Untersuchen Sie das Problem. Wenn Sie aufgefordert werden, den Kehrwert einer Reihe von Begriffen zu schreiben, die ein Radikal enthalten, müssen Sie vor der Vereinfachung eine Rationalisierung vornehmen. Verwenden Sie die Methode für Monomial- oder Binomial-Nenner, je nachdem, was für das Problem gilt.

2. 

   Schreiben Sie den Kehrwert so, wie er normalerweise erscheint. Ein Kehrwert wird erstellt, wenn Sie den Bruch invertieren. Unser Ausdruck ist eigentlich ein Bruchteil. Es wird nur durch 1 geteilt.

3. 

   Multiplizieren Sie mit etwas, das das Radikal auf der Unterseite loswerden kann. Denken Sie daran, dass Sie tatsächlich mit 1 multiplizieren. Sie müssen also sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren. Unser Beispiel ist ein Binomial, also multiplizieren Sie oben und unten mit dem Konjugat.

4. 

   Bei Bedarf vereinfachen. Holen Sie sich den Bruch auf die kleinstmögliche und kleinstmögliche Anzahl von Zahlen, indem Sie die Gleichung vervollständigen. In diesem Beispiel ist 4 - 3 = 1, sodass Sie den unteren Teil der Fraktion insgesamt entfernen können.
   • Lassen Sie sich nicht von der Tatsache abschrecken, dass das Gegenteil das Konjugat ist. Dies ist nur ein Zufall.

Methode 4 von 4: Rationalisierung von Nennern mit einer Kubikwurzel

1. 

   Untersuche die Fraktion. Sie können auch erwarten, dass Sie irgendwann auf Kubikwurzeln im Nenner treffen, obwohl diese seltener sind. Diese Methode verallgemeinert sich auch auf Wurzeln eines Index.

2. 

   Schreiben Sie den Nenner in Exponenten um. Einen Ausdruck zu finden, der den Nenner hier rationalisiert, wird etwas anders sein, weil wir nicht einfach mit dem Radikal multiplizieren können.

3. 

   Multiplizieren Sie oben und unten mit etwas, das den Exponenten im Nenner 1 ergibt. In unserem Fall handelt es sich um eine Kubikwurzel, also multiplizieren Sie mit Denken Sie daran, dass Exponenten ein Multiplikationsproblem in ein Additionsproblem der Eigenschaft verwandeln
   • Dies kann auf n-te Wurzeln im Nenner verallgemeinern. Wenn wir haben, multiplizieren wir oben und unten mit Dies ergibt den Exponenten im Nenner 1.

4. 

   Bei Bedarf vereinfachen.
   • Wenn Sie es in radikaler Form schreiben müssen, berücksichtigen Sie das

Community Fragen und Antworten

Wie rationalisiere ich mit drei Begriffen?

So etwas wie 1 / (1 + root2 + root3)? Wenn ja, gruppieren Sie als 1+ (root2 + root3) und multiplizieren Sie mit der "Differenz der konjugierten Quadrate" 1- (root2 + root3). Das macht den Nenner -4 - root6, der immer noch irrational ist, sich aber von zwei irrationalen Begriffen auf nur einen verbessert hat. Wiederholen Sie also denselben Trick, indem Sie mit -4 + root6 multiplizieren, und der Nenner wird rationalisiert.

Was bedeutet der Punkt in Ihren Bildern?

Wenn Sie nach den Punkten fragen, die zwischen verschiedenen Brüchen platziert sind, sind dies Multiplikationszeichen. Im zweiten Bild des Artikels sehen wir beispielsweise (7√3) / (2√7), dann einen Punkt und dann (√7 / √7). Das heißt, wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem zweiten Bruch (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner), was uns (7√21) / 14 ergibt, was sich zu √21 / 2 vereinfacht. (Übrigens zeigt der Artikel einige andere Punkte, die sind nicht zwischen Brüchen. Das sind nur "Aufzählungszeichen".)

Wie kann ich den Nenner mit einer Kubikwurzel rationalisieren, die eine Variable hat?

Wenn es sich um einen Binomialausdruck handelt, befolgen Sie die in Methode 2 beschriebenen Schritte.

Wie rationalisiert man eine Kubikwurzel im Nenner für eine Frage wie 1 / (Kubikwurzel 5 - Kubikwurzel 3)?

Dies ist etwas kniffliger, kann aber durchgeführt werden. Multiplizieren Sie oben und unten mit (Cuberoot 25 + Cuberoot 15 + Cuberoot 9) und der Nenner vereinfacht sich zu 2. Dieser Trick ist analog zum quadratischen Fall, da er die Differenz der Würfelfaktorisierung von 5-3 verwendet, während die Quadrate die Differenz von verwenden Faktorisierung der Quadrate.

• 
  
  Wie rationalisiere ich einen Trinomialnenner? Antworten

Tipps