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• Schritte
• Tipps

Für diejenigen, die Schwierigkeiten mit der Mathematik haben, kann das Sehen des Symbols einer Quadratwurzel Schüttelfrost verursachen. Probleme mit diesem Bediener sind jedoch nicht so schwierig, wie sie erscheinen. Manchmal können einfache Quadratwurzelprobleme so einfach sein wie eine einfache Multiplikation oder Division. Auf der anderen Seite können kompliziertere Probleme mehr Arbeit sein. Mit dem richtigen Ansatz werden sie alle einfach aussehen. Beginnen Sie jetzt mit dem Üben von Quadratwurzelproblemen und lernen Sie diese neue mathematische Fähigkeit Radikale!

Schritte

Teil 1 von 3: Verstehe das Konzept von Quadrat und Quadratwurzeln

1. 

   Bevor Sie die Quadratwurzeln verstehen, müssen Sie zunächst das Quadrat einer Zahl verstehen. Es ist leicht zu verstehen. Um eine Zahl zu quadrieren, multiplizieren Sie sie einfach mit sich selbst. Zum Beispiel ist 3 Quadrat gleich 3 × 3 = 9 und 9 Quadrat ist gleich 9 × 9 = 81. Die Quadrate sind durch eine kleine "2" oben rechts auf der zu erhöhenden Zahl gekennzeichnet. wie folgt: 3, 9, 100 und so weiter.
   • Versuchen Sie, einige weitere Zahlen zu quadrieren, um das Konzept zu üben. Denken Sie daran, dass beim Quadrieren einer Zahl diese einfach mit sich selbst multipliziert wird. Sie können dies auch mit negativen Zahlen tun, aber denken Sie daran, dass in diesem Fall die Antwort immer positiv ist. Zum Beispiel -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Um die Quadratwurzel zu finden, finden Sie die "Umkehrung" der Potenzierung. Das Wurzelsymbol (√, auch "radikal" genannt) bedeutet im Grunde das "Gegenteil" des Symbols. Wenn Sie ein Radikal sehen, fragen Sie sich: „Welche Zahl kann ich mit sich selbst multiplizieren, sodass das Ergebnis die Zahl innerhalb des Radikals ist?“ Wenn Sie beispielsweise √ (9) sehen, versuchen Sie, die Zahl im Quadrat zu finden. gleich 9. In diesem Fall lautet die Antwort dreiweil 3 = 9.
   • Ein weiteres Beispiel: Finden wir die Quadratwurzel von 25 (√ (25)). Dies bedeutet, dass wir die Zahl finden müssen, die im Quadrat gleich 25 ist. Da 5 = 5 × 5 = 25, können wir sagen, dass √ (25) = 5.
   • Sie können sich diesen Vorgang auch als eine Möglichkeit vorstellen, eine quadratische Höhe "rückgängig zu machen". Wenn wir zum Beispiel √ (64), die Quadratwurzel von 64, finden müssen, sollten wir uns 64 als 8 vorstellen. Da die Quadratwurzel im Grunde eine Höhe im Quadrat "annulliert", können wir sagen, dass √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Verstehe den Unterschied zwischen perfekten Quadratzahlen und unvollständigen Quadratzahlen. Bisher waren die Antworten auf unsere Quadratwurzelprobleme ganze Zahlen. Es wird nicht immer passieren. Tatsächlich kann das Ergebnis einer Strahlungsoperation manchmal zu langen, komplizierten Dezimalstellen führen. Wenn die Wurzel einer Zahl eine Ganzzahl ist, dh wenn es sich nicht um einen Bruch oder eine Dezimalstelle handelt, wird sie aufgerufen Perfektes Viereck. Alle oben gezeigten Beispiele (9, 25 und 64) sind perfekte Quadrate, da ihre Wurzeln ganze Zahlen sind (3, 5 bzw. 8).
   • Andererseits werden Zahlen genannt, deren Wurzeln nicht ganz sind unvollkommene Quadrate. Wenn wir die Wurzel einer dieser Zahlen berechnen, erhalten wir ein Ergebnis, das normalerweise ein Bruch oder eine Dezimalstelle ist. Manchmal können die Dezimalstellen ziemlich kompliziert sein, wie im Beispiel: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Merke dir mindestens die ersten 12 perfekten Quadrate. Wie wir gezeigt haben, kann die Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl sehr einfach sein! Daher ist es wichtig, sich die Zeit zu nehmen, um sich die Quadratwurzeln des ersten Dutzend perfekter Quadrate zu merken. Sie treten bei Tests häufig auf, sodass Sie viel Zeit sparen können, wenn Sie sie auswendig lernen. Die ersten 12 perfekten Quadrate sind:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Wenn möglich, vereinfachen Sie die Wurzeln, indem Sie die perfekten Quadrate entfernen. Das Finden der Quadratwurzel unvollständiger Quadrate kann sehr schwierig sein, insbesondere wenn kein Taschenrechner verfügbar ist (in den folgenden Abschnitten lernen Sie Tricks, um den Vorgang zu vereinfachen). Manchmal ist es jedoch möglich, die Zahlen in der Wurzel zu vereinfachen, um die Berechnungen zu vereinfachen. Teilen Sie einfach die Zahl innerhalb der Wurzel in Faktoren, berechnen Sie dann die Wurzel der Faktoren, die perfekte Quadrate sind, und schreiben Sie die Antwort außerhalb des Radikals. Das ist einfacher als es aussieht. Siehe unten, um besser zu verstehen!
   • Nehmen wir an, Sie müssen die Wurzel von 900 finden. Zunächst scheint es eine ziemlich schwierige Aufgabe zu sein! Alles ist viel einfacher, wenn wir die 900 in Faktoren unterteilen. Die Faktoren einer Zahl "x" sind eine Reihe von Zahlen, die, wenn sie multipliziert werden, zu "x" führen. Zum Beispiel können wir 6 erhalten, indem wir 1 × 6 und 2 × 3 multiplizieren, also sind die Faktoren 6 1, 2, 3 und 6.
   • Anstatt mit 900 zu arbeiten, was etwas seltsam sein kann, schreiben wir es stattdessen als 9 × 100. Jetzt, da 9, ein perfektes Quadrat, von 100 getrennt ist, können wir seine Quadratwurzel berechnen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Das heißt, √ (900) = 3√(100).
   • Wir können noch zweimal vereinfachen, indem wir 100 in die Faktoren 25 und 4 teilen. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Wir können also sagen, dass √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Verwenden Sie imaginäre Zahlen, um die Wurzel negativer Zahlen zu berechnen. Fragen Sie sich, welche Zahl multipliziert mit -16 ergibt? Es ist nicht 4 oder -4, weil das Quadrat dieser beiden Zahlen 16 ist. Sollen wir aufgeben? Tatsächlich gibt es keine Möglichkeit, die Quadratwurzel von -16 oder eine andere negative Zahl nur mit reellen Zahlen zu schreiben. In solchen Fällen müssen wir imaginäre Zahlen (normalerweise in Form von Buchstaben oder Symbolen) verwenden, um die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ersetzen. Die Variable "i" wird beispielsweise verwendet, um die Quadratwurzel von -1 zu bezeichnen. In der Regel ist die Wurzel einer negativen Zahl immer eine imaginäre Zahl (oder schließt sie zumindest ein).
   • Denken Sie daran, dass imaginäre Zahlen zwar nicht durch reelle Zahlen dargestellt werden können, aber dennoch in gewisser Weise als solche behandelt werden können. Zum Beispiel führt die Wurzel einer negativen Zahl "-x", wenn sie quadratisch ist, wie jede andere Wurzel auch zu "-x". Das heißt, i = -1

Teil 2 von 3: Verwenden langer teilungsähnlicher Methoden

1. 

   Behandeln Sie das Quadratwurzelproblem so, als wäre es eine lange Teilung. Obwohl Sie ein wenig mühsam sind, können Sie die Quadratwurzel komplizierter unvollständiger Quadratzahlen ohne Verwendung eines Taschenrechners finden. Die Methode (oder der Algorithmus) ähnelt der langen Division (ist aber nicht dieselbe). Die lange Division ist die traditionelle Methode, mit der Divisionen von Hand berechnet werden.
   • Beginnen Sie mit der anfänglichen Positionierung des Problems, die der der langen Division ähnelt. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie müssen die Wurzel von 6,45 finden, was definitiv kein perfektes Quadrat ist. Zuerst schreiben wir ein Quadratwurzelsymbol (√) und dann setzen wir unsere Nummer hinein. Dann müssen wir eine Linie vom Symbol √ machen, bis es die ganze Zahl abdeckt, und es in einem Feld belassen, das demjenigen ähnelt, in dem sich der lange Teilungsteiler befindet. Der Unterschied besteht darin, dass hier die Antwort über diesem Feld und nicht wie in der traditionellen Abteilung unter diesem Feld liegt. Wenn wir fertig sind, haben wir ein längliches "√" -Zeichen, das die gesamte Zahl von 6,45 abdeckt.
   • Schreiben wir Zahlen in dieses Feld, lassen Sie also Platz.

2. 

   Gruppieren Sie die Ziffern paarweise. Um das Problem zu lösen, gruppieren Sie die Ziffern der Zahl innerhalb des Stiels paarweise, beginnend mit dem Dezimalpunkt. Sie können kleine Markierungen (wie Punkte, Balken, Kommas usw.) zwischen Paaren vornehmen, um sie zu trennen.
   • In unserem Beispiel sollten wir 6.45 wie folgt in drei Paare teilen: 6-,45-00. Achten Sie darauf, dass sich auf der linken Seite eine Ziffer weniger befindet. Damit gibt es kein Problem.

3. 

   Suchen Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich dem Wert der ersten "Gruppe" ist. Beginnen Sie mit dem ersten Zahlenpaar auf der linken Seite. Wählen Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich der "Gruppe" ist. Wenn die Gruppe beispielsweise 37 war, wählen Sie 6, da 6 = 36 <37, aber 7 = 49> 37. Schreiben Sie diese Zahl über die erste Gruppe. Dies ist die erste Ziffer der Antwort.
   • In unserem Beispiel ist die erste Gruppe in 6-, 45-00 6. Die erste größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich 6 ist, ist 2, weil 2 = 4. Schreiben Sie "2" über die 6, die sich innerhalb des Radikals befindet.

4. 

   Schauen Sie sich die erste Ziffer der Antwort an (die Zahl, die wir gerade gefunden haben) und multiplizieren Sie sie mit zwei. Schreiben Sie nun das Ergebnis unter die erste Gruppe und führen Sie eine Subtraktion durch, um den Unterschied zu ermitteln. Scrollen Sie dann nach unten zum nächsten Zahlenpaar und addieren Sie sie zu dem Unterschied, den wir gerade gefunden haben. Schreiben Sie zum Schluss die letzte Ziffer doppelt so hoch wie die erste Ziffer der Antwort auf der linken Seite und lassen Sie ein Leerzeichen daneben.
   • In unserem Beispiel wäre der erste Schritt, das Doppel von 2 zu finden, was die erste Ziffer der Antwort ist. 2 × 2 = 4. Dann müssen wir 4 von 6 (unserer ersten "Gruppe") subtrahieren und 2 als Antwort erhalten. Jetzt müssen wir zur nächsten Gruppe (45) gehen, um 245 zu erhalten. Schließlich schreiben wir wieder 4 auf der linken Seite und lassen auf der rechten Seite ein kleines Leerzeichen wie folgt: 4_.

5. 

   Fülle die Lücke aus. Jetzt müssen wir eine Ziffer anstelle des Leerzeichens neben der Zahl setzen, die wir links schreiben. Wählen Sie die Ziffer, die, multipliziert mit der Zahl auf der linken Seite, wobei das Leerzeichen durch sich selbst ersetzt wird, einen Maximalwert hat, der jedoch kleiner als die Zahl auf der rechten Seite ist. Dies mag etwas kompliziert erscheinen, also schauen wir uns einige Beispiele an, um sie zu verstehen. Wenn die Zahl, die gesunken ist, dh die auf der rechten Seite, 1700 und die Zahl auf der rechten Seite 40_ ist, würden wir die Lücke mit der Zahl 4 ausfüllen, da 404 × 4 = 1616 <1700 und 405 × 5 = 2025 Die in diesem Schritt gefundene Nummer ist die zweite Ziffer der Antwort, sodass Sie sie über dem Stammsymbol hinzufügen können.
   • In unserem Beispiel müssen wir die Zahl finden, um die Lücke in 4_ × _ auszufüllen, die die Antwort so groß wie möglich macht, aber kleiner oder gleich 245. In unserem Fall lautet die Antwort 5weil 45 × 5 = 225 und 46 × 6 = 276.

6. 

   Verwenden Sie weiterhin die Zahlen, die die Lücken ausfüllen, um die Antwort zu verfassen. Setzen Sie diese modifizierte Methode der langen Division fort, bis Sie Nullen erhalten, indem Sie die Zahl abziehen, die vom Radikal absteigt, oder bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben. Wenn Sie fertig sind, bilden die Zahlen, die zum Ausfüllen der Lücken bei jedem Schritt verwendet werden (und natürlich die erste Zahl, die wir verwenden), die Antwortziffern.
   • Wenn wir unser Beispiel fortsetzen, würden wir 225 von 245 subtrahieren, um 20 zu erhalten. Dann würden wir das Ziffernpaar 00 nach unten gehen, um 2000 zu erhalten. Durch Verdoppeln der Zahlen über dem Radikal haben wir 25 × 2 = 50. Indem wir die leere Zahl auf 50_ × setzen _ = / <2.000, wir bekommen 3. An diesem Punkt haben wir "253" über das Radikal. Wenn Sie den Vorgang erneut wiederholen, erhalten Sie eine 9 als nächste Ziffer.

7. 

   Platzieren Sie das Komma in der Antwort an der richtigen Stelle. Um die Antwort zu beenden, müssen wir noch den Dezimalpunkt an die richtige Stelle setzen. Dieser Teil ist einfach: Setzen Sie einfach das Komma in der Antwort an die gleiche Stelle wie das Komma in der Zahl innerhalb des Radikals. Wenn die Zahl innerhalb des Radikals beispielsweise 49,8 beträgt, setzen Sie einfach das Komma in die Antwort an der Stelle, die der folgenden entspricht, dh zwischen den beiden Zahlen über 9 und 8.
   • In unserem Beispiel beträgt die Zahl innerhalb des Radikals 6,45. Um die Antwort zu erhalten, setzen Sie einfach das Komma zwischen die Zahlen über 6 und 4, in diesem Fall 2 bzw. 5, um die Antwort zu erhalten: 2,539.

Teil 3 von 3: Schnelle Schätzung unvollkommener Quadrate

1. 

   Finden Sie die Antwort durch eine Schätzung. Sobald Sie die Wurzel einiger perfekter Quadrate kennen, wird es viel einfacher sein, die Wurzel unvollständiger Quadrate zu finden. In einem vorherigen Schritt empfehlen wir, mindestens die ersten zwölf perfekten Quadrate und ihre Wurzeln auswendig zu lernen. Die gute Nachricht ist, dass wir die Schätzung verwenden können, um eine Annäherung an die Wurzel eines unvollkommenen Quadrats zu erhalten, das zwischen zwei perfekten Quadraten liegt, die wir kennen. Dazu müssen wir das erste perfekte Quadrat finden, das größer als die gewünschte Zahl ist, und das letzte kleinere, damit die fragliche Zahl zwischen den beiden liegt. Dann müssen wir versuchen herauszufinden, welchem ​​dieser beiden perfekten Quadrate die Wurzel der gewünschten Zahl am nächsten kommt.
   • Angenommen, wir müssen die Quadratwurzel von 40 finden. Da wir uns unsere perfekten Quadrate merken, können wir sagen, dass 40 zwischen 6 und 7 liegt, dh zwischen 36 und 49. Da 40 größer als 6 ist, ist Ihre Quadratwurzel größer als 6. Da es kleiner als 7 ist, ist seine Wurzel kleiner als 7. 40 ist etwas näher an 36 als 49, daher wird unsere Antwort wahrscheinlich näher an 6 liegen. In den nächsten Schritten erhöhen wir die Genauigkeit unserer Schätzung.

2. 

   Erhöhen Sie die Genauigkeit auf eine Dezimalstelle. Nachdem Sie die zwei aufeinanderfolgenden perfekten Quadrate gefunden haben, die einen Bereich bilden, der Ihre Zahl enthält, versuchen Sie einfach, die Genauigkeit der Schätzung auf einen Punkt zu erhöhen, den Sie für zufriedenstellend halten. Je mehr Versuche unternommen werden, die Schätzung zu verbessern, desto größer ist die Genauigkeit. Schätzen Sie zunächst den Wert der ersten Dezimalstelle. Diese Schätzung muss nicht korrekt sein, aber die Verwendung von Logik zur Auswahl eines Werts, der der Antwort wahrscheinlich am nächsten kommt, erleichtert den Prozess.
   • In unserem Beispiel könnte eine akzeptable Schätzung für die Quadratwurzel von 40 sein 6,4, weil wir bereits wissen, dass die Antwort wahrscheinlich etwas näher an 6 als 7 liegt.

3. 

   Multiplizieren Sie die Schätzung mit sich selbst. Wenn Sie kein großes Glück haben, ist das Ergebnis nicht die Startnummer (in unserem Beispiel 40). Sie müssen die Schätzung anpassen, um der richtigen Antwort näher zu kommen.Wenn das Ergebnis über der Startzahl liegt (dh über 40), versuchen Sie es mit einer niedrigeren Schätzung. Wenn das Ergebnis unter der gewünschten Zahl liegt, erhöhen Sie ebenfalls die Schätzung.
   • Multiplizieren Sie 6,4 mit sich selbst, um 6,4 × 6,4 = zu erhalten 40,96, was etwas höher ist als unsere ursprüngliche Zahl.
   • Da unsere Schätzung knapp über dem korrekten Wert lag, verringern wir sie um ein Zehntel, um 6,3 × 6,3 = zu erhalten 39,69. Jetzt war das Ergebnis etwas weniger als unsere ursprüngliche Zahl. Dies bedeutet, dass die Wurzel von 40 eine Zahl ist zwischen 6.3 und 6.4. Da 39,69 näher an 40 als 40,96 liegt, wissen wir außerdem, dass die Wurzel näher an 6,3 und nicht an 6,4 liegt.

4. 

   Verbessern Sie die Schätzung gegebenenfalls weiter. Wenn Sie mit der Antwort zufrieden sind, verwenden Sie an dieser Stelle eine der ersten Näherungen als Schätzung. Wenn Sie jedoch eine genauere Antwort benötigen, versuchen Sie einfach, die zu schätzen zweite DezimalstelleWählen Sie einen Wert zwischen den beiden vorherigen (dh zwischen 6,3 und 6,4). Mit dieser Methode können wir drei Dezimalstellen, vier, fünf usw. schätzen, abhängig von der Genauigkeit, die für die Antwort erforderlich ist.
   • In unserem Beispiel können wir 6,33 wählen, um unsere Schätzung auf zwei Dezimalstellen vorzunehmen. Multiplizieren Sie die 6,33 mit sich selbst, um 6,33 × 6,33 = 40,0689 zu erhalten. Da dieses Ergebnis leicht über unserer ursprünglichen Zahl lag, können wir einen etwas niedrigeren Wert wählen, z. B. 6,32. In diesem Fall ist 6,32 × 6,32 = 39,9424, ein Ergebnis, das geringfügig unter der Startzahl liegt. Daher können wir schließen, dass die genaue Wurzel von 40 ist zwischen 6,32 und 6,33. Bei Bedarf könnten wir diese Methode fortsetzen, um immer genauere Annäherungen an die Wurzel der gewünschten Zahl zu erhalten.

Tipps

• Wenn Sie eine schnelle Lösung benötigen, verwenden Sie einen Taschenrechner. Die meisten modernen Taschenrechner können Quadratwurzeln sofort berechnen. Im Allgemeinen geben Sie einfach eine beliebige Zahl ein und drücken Sie die Taste mit dem Quadratwurzelsymbol. Um beispielsweise die Wurzel von 841 zu finden, drücken Sie einfach 8, 4, 1 und dann (√), um die Antwort zu erhalten: 39.