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• Schritte
• Tipps

Um ein Gleichungssystem zu lösen, müssen Sie den Wert einer oder mehrerer Variablen in mehr als einer Gleichung ermitteln. Sie können ein Gleichungssystem lösen, indem Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder ersetzen. Wenn Sie wissen möchten, wie ein Gleichungssystem gelöst wird, führen Sie die folgenden Schritte aus.

Schritte

Methode 1 von 4: Löse durch Subtraktion

1. 

   Schreiben Sie eine Gleichung über die andere. Das Lösen eines Gleichungssystems durch Subtraktion ist ideal, wenn Sie sehen, dass beide Konten eine Variable mit demselben Koeffizienten und demselben Vorzeichen haben. Wenn beispielsweise beide Gleichungen die positive Variable 2x haben, können Sie die Subtraktionsmethode verwenden, um den Wert beider Variablen zu ermitteln.
   • Schreiben Sie eine Gleichung übereinander, indem Sie die Variablen x und y sowie alle Zahlen ausrichten. Schreiben Sie das Minuszeichen außerhalb der Menge des zweiten Gleichungssystems.
   • Beispiel: Wenn Sie zwei Gleichungen 2x + 4y = 8 und 2x + 2y = 2 haben, müssen Sie die erste Gleichung über die zweite schreiben, wobei das Minuszeichen außerhalb der zweiten Größe liegt. Dies zeigt, dass Sie jeden der Terme in der subtrahieren Gleichung.
     • 2x + 4y = 8.
     • - (2x + 2y = 2).

2. 

   
   
   Subtrahieren Sie ähnliche Begriffe. Nachdem Sie die beiden Gleichungen ausgerichtet haben, müssen Sie nur noch ähnliche Begriffe subtrahieren. Sie können dies Begriff für Begriff tun:
   • 2x - 2x = 0.
   • 4y - 2y = 2y.
   • 8 - 2 = 6.
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6.

3. 

   Lösen Sie die verbleibenden Bedingungen. Sobald Sie eine der Variablen eliminieren, die einen Term gleich 0 erhalten, wenn Sie die Variablen mit denselben Koeffizienten subtrahieren, müssen Sie für die verbleibende Variable eine reguläre Gleichung lösen. Sie können die Null aus der Gleichung entfernen, da sich dadurch nichts am Wert ändert.
   • 2y = 6.
   • Teilen Sie 2y und 6 durch 2, um y = 3 zu finden.

4. 

   
   
   Setzen Sie den Term wieder in eine der Gleichungen ein, um den Wert des ersten Terms zu ermitteln. Jetzt, da Sie wissen, dass y = 3 ist, müssen Sie wieder in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und nach x auflösen. Es spielt keine Rolle, für welche Sie sich entscheiden, da die Antwort dieselbe ist. Wenn eine der Gleichungen komplizierter aussieht als die andere, ersetzen Sie sie einfach durch die einfachste.
   • Setzen Sie y = 3 in die Gleichung 2x + 2y = 2 ein und lösen Sie nach x.
   • 2x + 2 (3) = 2.
   • 2x + 6 = 2.
   • 2x = -4.
   • x = - 2.
     • Sie haben das Gleichungssystem durch Subtraktion gelöst. (X, y) = (-2, 3)

5. 

   
   
   Überprüfe deine Antwort. Um sicherzustellen, dass Sie das Gleichungssystem richtig gelöst haben, können Sie einfach Ihre beiden Antworten in beide Gleichungen einsetzen, um sicherzustellen, dass sie funktionieren. Diesen Weg:
   • Ersetzen Sie (-2, 3) anstelle von (x, y) in der Gleichung 2x + 4y = 8.
     • 2(-2) + 4(3) = 8.
     • -4 + 12 = 8.
     • 8 = 8.
   • Ersetzen Sie (-2, 3) anstelle von (x, y) in der Gleichung 2x + 2y = 2.
     • 2(-2) + 2(3) = 2.
     • -4 + 6 = 2.
     • 2 = 2.

Methode 2 von 4: Lösung durch Zugabe

1. 

   Schreiben Sie eine Gleichung über die andere. Das Lösen eines Gleichungssystems durch Addition ist ideal, wenn Sie sehen, dass beide Gleichungen eine Variable mit demselben Koeffizienten, aber entgegengesetzten Vorzeichen haben. Wenn beispielsweise eine Gleichung die Variable 3x und die andere die Variable -3x hat, ist die Additionsmethode ideal.
   • Schreiben Sie eine Gleichung übereinander, indem Sie die Variablen x und y sowie alle Zahlen ausrichten. Schreiben Sie das Pluszeichen außerhalb der Menge in die zweite Gleichung.
   • Beispiel: Wenn Sie zwei Gleichungen 3x + 6y = 8 und ex - 6y = 4 haben, müssen Sie die erste Gleichung über die zweite schreiben, wobei das Pluszeichen außerhalb der Menge der zweiten Gleichung steht und zeigt, dass Sie jede hinzufügen von Begriffen der Gleichung.
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).

2. 

   Fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu. Nachdem Sie die beiden Gleichungen ausgerichtet haben, müssen Sie nur noch die ähnlichen Begriffe addieren. Sie können jeweils eine hinzufügen:
   • 3x + x = 4x.
   • 6y + -6y = 0.
   • 8 + 4 = 12.
   • Wenn Sie alle Begriffe kombinieren, finden Sie Ihr neues Produkt:
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).
     • = 4x ​​+ 0 = 12.

3. 

   Lösen Sie die verbleibenden Bedingungen. Sobald Sie eine der Variablen eliminieren, die einen Term gleich 0 erhalten, wenn Sie die Variablen mit denselben Koeffizienten subtrahieren, müssen Sie für die verbleibende Variable eine reguläre Gleichung lösen. Sie können die Null aus der Gleichung entfernen, da sich dadurch nichts am Wert ändert.
   • 4x + 0 = 12.
   • 4x = 12.
   • Teilen Sie 4x und 12 durch 3, um x = 3 zu finden.

4. 

   Setzen Sie den Term wieder in die Gleichung ein, um den Wert des ersten Terms zu ermitteln. Jetzt, da Sie wissen, dass x = 3 ist, müssen Sie dies einfach in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um nach y zu lösen. Es spielt keine Rolle, für welche Sie sich entscheiden, da die Antwort dieselbe ist. Wenn eine der Gleichungen komplizierter aussieht als die andere, ersetzen Sie sie einfach durch die einfachste.
   • Setzen Sie x = 3 in die Gleichung x - 6y = 4 ein, um nach y zu lösen.
   • 3 - 6y = 4.
   • -6y = 1.
   • Teilen Sie -6y und 1 durch -6, um y = -1/6 zu finden.
     • Sie haben das Gleichungssystem durch Addition gelöst. (x, y) = (3, -1/6).

5. 

   Überprüfe deine Antwort. Um sicherzustellen, dass Sie das Gleichungssystem richtig gelöst haben, können Sie einfach Ihre beiden Antworten in beide Gleichungen einsetzen, um sicherzustellen, dass sie funktionieren. So:
   • Ersetzen Sie (3, -1/6) anstelle von (x, y) in der Gleichung 3x + 6y = 8.
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8.
     • 9 - 1 = 8.
     • 8 = 8.
   • Ersetzen Sie (3, -1/6) anstelle von (x, y) in der Gleichung x - 6y = 4.
     • 3 - (6 * -1/6) =4.
     • 3 - - 1 = 4.
     • 3 + 1 = 4.
     • 4 = 4.

Methode 3 von 4: Lösung durch Multiplikation

1. 

   Schreiben Sie die Gleichungen übereinander. Schreiben Sie eine Gleichung übereinander, indem Sie die Variablen x und y sowie alle Zahlen ausrichten. Wenn Sie die Multiplikationsmethode verwenden, hat keine der Variablen übereinstimmende Koeffizienten - vorerst.
   • 3x + 2y = 10.
   • 2x - y = 2.

2. 

   Multiplizieren Sie eine oder beide Gleichungen, bis eine der Variablen in beiden Begriffen gleiche Koeffizienten hat. Multiplizieren Sie nun eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, bei der eine der Variablen den gleichen Koeffizienten hat. In diesem Fall können Sie die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren, sodass die Variable -y zu -2y wird und gleich dem ersten Koeffizienten y ist. So geht's:
   • 2 (2x - y = 2).
   • 4x - 2y = 4.

3. 

   Addiere oder subtrahiere die Gleichungen. Verwenden Sie jetzt einfach die Additions- oder Subtraktionsmethode in beiden Gleichungen, basierend darauf, mit welcher Methode die Variable mit demselben Koeffizienten eliminiert wird. Da Sie mit 2y und -2y arbeiten, müssen Sie die Additionsmethode verwenden, da 2y + -2y gleich 0 ist. Wenn Sie mit 2y und + 2y arbeiten würden, würden Sie die Subtraktionsmethode verwenden. So verwenden Sie die Additionsmethode, um eine der Variablen zu entfernen:
   • 3x + 2y = 10.
   • + 4x - 2y = 4.
   • 7x + 0 = 14.
   • 7x = 14.

4. 

   Löse für die verbleibende Laufzeit. Entschließen Sie sich einfach, den Begriff zu finden, den Sie nicht gelöscht haben. Wenn 7x = 14, dann ist x = 2.

5. 

   Setzen Sie den Term wieder in die Gleichung ein, um den Wert des ersten Terms zu ermitteln. Ersetzen Sie zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen, um den anderen Term zu lösen. Nehmen Sie die einfachste Gleichung, um schneller zu machen.
   • x = 2 -> 2x - y = 2.
   • 4 - y = 2.
   • -y = -2.
   • y = 2.
   • Sie haben das Gleichungssystem durch Multiplikation gelöst. (x, y) = (2, 2)

6. 

   Überprüfe deine Antwort. Um Ihre Antwort zu überprüfen, ersetzen Sie die beiden Werte, die Sie in den ursprünglichen Gleichungen gefunden haben, und stellen Sie sicher, dass Sie die richtigen Werte erhalten haben.
   • Ersetzen Sie (2, 2) anstelle von (x, y) in der Gleichung 3x + 2y = 10.
   • 3(2) + 2(2) = 10.
   • 6 + 4 = 10.
   • 10 = 10.
   • Ersetzen Sie (2, 2) anstelle von (x, y) in der Gleichung 2x - y = 2.
   • 2(2) - 2 = 2.
   • 4 - 2 = 2.
   • 2 = 2.

Methode 4 von 4: Auflösen durch Substitution

1. 

   Isolieren Sie eine Variable. Die Substitutionsmethode ist ideal, wenn einer der Koeffizienten in einer der Gleichungen gleich eins ist. Sie müssen also nur die einfache Koeffizientenvariable auf einer Seite der Gleichung isolieren, um ihren Wert zu ermitteln.
   • Wenn Sie mit den Gleichungen 2x + 3y = 9 und x + 4y = 2 arbeiten, können Sie x in der zweiten Gleichung isolieren.
   • x + 4y = 2.
   • x = 2 - 4y.

2. 

   Setzen Sie den Wert der von Ihnen isolierten Variablen wieder in die andere Gleichung ein. Nehmen Sie den Wert, der beim Isolieren der Variablen gefunden wurde, und ersetzen Sie ihn anstelle der Variablen in der Gleichung, die Sie nicht manipuliert haben.Sie können nichts lösen, wenn Sie den Wert in der von Ihnen manipulierten Gleichung wieder einsetzen. So geht's:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9.
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9.
   • 4 - 8y + 3y = 9.
   • 4 - 5y = 9.
   • -5y = 9 - 4.
   • -5y = 5.
   • -y = 1.
   • y = - 1.

3. 

   Löse nach den restlichen Variablen. Nachdem Sie nun wissen, dass y = - 1 ist, setzen Sie diesen Wert einfach in die einfachste Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln. So:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y.
   • x = 2 - 4 (-1).
   • x = 2 - -4.
   • x = 2 + 4.
   • x = 6.
   • Sie haben das Gleichungssystem durch Substitution gelöst. (x, y) = (6, -1).

4. 

   Überprüfe deine Arbeit. Um sicherzustellen, dass Sie das Gleichungssystem korrekt gelöst haben, können Sie einfach die in beiden Gleichungen gefundenen Werte ersetzen, um festzustellen, ob das Ergebnis richtig ist:
   • Ersetzen Sie (6, -1) anstelle von (x, y) in der Gleichung 2x + 3y = 9.
     • 2(6) + 3(-1) = 9.
     • 12 - 3 = 9.
     • 9 = 9.
   • Ersetzen Sie (6, -1) anstelle von (x, y) in der Gleichung x + 4y = 2.
   • 6 + 4(-1) = 2.
   • 6 - 4 = 2.
   • 2 = 2.

Tipps

• Sie sollten in der Lage sein, alle linearen Gleichungssysteme mit den Methoden Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Substitution zu lösen. Eine Methode ist jedoch in Abhängigkeit von den Gleichungen im Allgemeinen einfacher.