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• Schritte
• Tipps
• Warnungen

Das Vereinfachen einer Quadratwurzel ist nicht so schwierig, wie es sich anhört. Dazu müssen Sie nur die Zahl faktorisieren und die Wurzeln jedes perfekten Quadrats ziehen, das Sie finden. Sobald Sie einige gemeinsame perfekte Quadrate auswendig gelernt haben und wissen, wie man eine Zahl faktorisiert, sind Sie auf dem besten Weg, eine Quadratwurzel zu vereinfachen.

Schritte

Methode 1 von 3: Vereinfachung einer Quadratwurzel durch Faktorisierung

1. 

   Factoring verstehen. Das Ziel der Vereinfachung einer Quadratwurzel besteht darin, sie auf einfache Weise neu zu schreiben, um sie zu verstehen und in mathematischen Problemen zu verwenden. Das Faktorisieren teilt eine große Zahl in zwei oder mehr Faktoren kleinere zum Beispiel transformieren 9 in 3 x 3. Sobald wir diese Faktoren entdecken, können wir die Quadratwurzel in einer einfacheren Form umschreiben und manchmal sogar in eine normale ganze Zahl umwandeln. Beispiel: √9 = √ (3x3) = 3. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um zu erfahren, wie Sie diesen Vorgang mit komplizierteren Quadratwurzeln durchführen.

2. 

   
   
   Teilen Sie durch die kleinstmögliche Primzahl. Wenn die Zahl unter der Quadratwurzel gerade ist, teilen Sie sie durch 2. Wenn sie ungerade ist, versuchen Sie stattdessen, sie durch 3 zu teilen. Wenn keine dieser Angaben eine Ganzzahl ergibt, gehen Sie diese Liste durch, indem Sie die anderen Primzahlen testen, bis Sie eine Ganzzahl erhalten. Sie müssen nur Primzahlen testen, da alle anderen Primfaktoren haben. Zum Beispiel müssen Sie 4 nicht testen, da jede durch 4 teilbare Zahl auch durch 2 teilbar ist, was Sie bereits versucht haben.
   • 2.
   • 3.
   • 5.
   • 7.
   • 11.
   • 13.
   • 17.

3. 

   
   
   Schreiben Sie die Quadratwurzel als Multiplikationsproblem um. Lassen Sie alles unter der Wurzel und achten Sie darauf, beide Faktoren zu berücksichtigen. Wenn Sie beispielsweise versuchen, √98 zu vereinfachen, führen Sie den obigen Schritt aus, um festzustellen, dass 98 ÷ 2 = 49, also 98 = 2 x 49. Schreiben Sie "98" in der ursprünglichen Quadratwurzel mit den folgenden Informationen neu: √98 = √ ( 2 x 49).

4. 

   
   
   Wiederholen Sie mit einer der verbleibenden Zahlen. Bevor wir die Wurzel vereinfachen können, faktorisieren wir weiter, bis wir sie in zwei identische Teile zerlegt haben. Dies ist sinnvoll, wenn Sie darüber nachdenken, was eine Quadratwurzel bedeutet: Der Ausdruck √ (2 x 2) bedeutet "die Zahl, die Sie selbst multiplizieren können und die 2 x 2 entspricht". Offensichtlich ist diese Zahl 2! In diesem Sinne wiederholen wir die obigen Schritte für unser Beispielproblem √ (2 x 49):
   • Die 2 ist bereits maximal berücksichtigt (mit anderen Worten, es ist eine dieser Primzahlen aus der obigen Liste). Lassen Sie es uns zunächst ignorieren und stattdessen versuchen, die 49 zu teilen.
   • 49 kann nicht gleichmäßig durch 2, 3 oder 5 geteilt werden. Sie können dies mit einem Taschenrechner oder durch Teilen testen. Da diese Zahlen keine vollständigen Ergebnisse liefern, ignorieren wir sie und versuchen es weiter.
   • 49 er kann gleichmäßig durch 7 geteilt werden. 49 ÷ 7 = 7, also 49 = 7 x 7.
   • Schreiben Sie das Problem neu: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. 

   Beenden Sie die Vereinfachung, indem Sie eine Ganzzahl "herausnehmen". Sobald Sie das Problem in zwei identische Faktoren unterteilt haben, können Sie es in eine gemeinsame Ganzzahl außerhalb der Quadratwurzel umwandeln. Lassen Sie alle anderen Faktoren darin. Zum Beispiel ist √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • Selbst wenn es möglich ist, das Factoring fortzusetzen, müssen Sie dies nicht tun, sobald Sie zwei identische Faktoren gefunden haben. Zum Beispiel ist √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Wenn wir weiter faktorisieren würden, würden wir die gleiche Antwort erhalten, aber einen größeren Job machen. √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4.

6. 

   Multiplizieren Sie die ganzen Zahlen, wenn es mehr als eine gibt. Bei einigen großen Quadratwurzeln können Sie mehr als einmal vereinfachen. In diesem Fall multiplizieren Sie die Ganzzahlen, um zum endgültigen Problem zu gelangen. Hier ist ein Beispiel:
   • √180 = √ (2 x 90).
   • √180 = √ (2 x 2 x 45).
   • √180 = 2√45, dies kann jedoch noch vereinfacht werden.
   • √180 = 2√ (3 x 15).
   • √180 = 2√ (3 x 3 x 5).
   • √180 = (2)(3√5).
   • √180 = 6√5.

7. 

   Schreiben Sie "es kann nicht vereinfacht werden", wenn es nicht zwei identische Faktoren gibt. Einige Quadratwurzeln liegen bereits in der einfachsten Form vor. Wenn Sie weiter faktorisieren, bis jeder Term unter der Quadratwurzel eine Primzahl ist (in einem der obigen Schritte aufgeführt) und es keine zwei gleichen Zahlen gibt, können Sie nichts tun. Möglicherweise haben Sie eine Trickfrage erhalten! Versuchen wir zum Beispiel, √70 zu vereinfachen:
   • 70 = 35 x 2, also √70 = √ (35 x 2).
   • 35 = 7 x 5, also √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2).
   • Alle drei Zahlen sind Primzahlen, daher können sie nicht berücksichtigt werden. Außerdem sind sie alle unterschiedlich, so dass es nicht möglich ist, eine Ganzzahl zu "entfernen". √70 kann nicht vereinfacht werden.

Methode 2 von 3: Die perfekten Quadrate kennen

1. 

   Merken Sie sich einige perfekte Quadrate. Wenn Sie eine Zahl quadrieren oder mit sich selbst multiplizieren, entsteht ein perfektes Quadrat. Zum Beispiel ist 25 ein perfektes Quadrat, weil 5 x 5 oder 5 gleich 25 ist. Wenn Sie sich mindestens die ersten zehn perfekten Quadrate merken, können Sie perfekte Quadratwurzeln schnell erkennen und vereinfachen. Hier sind die ersten 10 perfekten Quadrate:
   • 1 = 1.
   • 2 = 4.
   • 3 = 9.
   • 4 = 16.
   • 5 = 25.
   • 6 = 36.
   • 7 = 49.
   • 8 = 64.
   • 9 = 81.
   • 10 = 100.

2. 

   Finden Sie die Quadratwurzel eines perfekten Quadrats. Wenn Sie ein perfektes Quadrat unter einem Quadratwurzelsymbol erkennen, können Sie es sofort zu Ihrer Quadratwurzel machen und das radikale Symbol (√) entfernen. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 25 unter dem Quadratwurzelsymbol sehen, wissen Sie bereits, dass die Antwort 5 ist, da 25 ein perfektes Quadrat ist. Hier ist dieselbe Liste wie oben, diesmal von der Quadratwurzel bis zur Antwort:
   • √1 = 1.
   • √4 = 2.
   • √9 = 3.
   • √16 = 4.
   • √25 = 5.
   • √36 = 6.
   • √49 = 7.
   • √64 = 8.
   • √81 = 9.
   • √100 = 10.

3. 

   Faktorisieren Sie die Zahlen in perfekte Quadrate. Verwenden Sie die perfekten Quadrate, um die Factoring-Methode bei der Vereinfachung der Quadratwurzeln zu befolgen. Wenn Sie einen Weg bemerken, ein perfektes Quadrat zu erhalten, können Sie Zeit und Mühe sparen. Hier sind einige Tipps:
   • √50 = √ (25 x 2) = 5√2. Wenn die letzten beiden Ziffern einer Zahl mit 25, 50 oder 75 enden, können Sie immer 25 erhalten.
   • √1700 = √ (100 x 17) = 10√17. Wenn die letzten beiden Ziffern mit 00 enden, können Sie immer 100 erhalten.
   • √72 = √ (9 x 8) = 3√8. Das Erkennen von Vielfachen von 9 ist oft nützlich. Hier ist ein Trick dafür: Wenn, beim Hinzufügen alle Bei den Ziffern einer Zahl ist das Ergebnis 9, daher ist 9 immer ein Faktor.
   • √12 = √ (4 x 3) = 2√3. Hier gibt es keinen speziellen Trick, aber es ist normalerweise einfach zu überprüfen, ob eine kleine Zahl durch 4 teilbar ist. Denken Sie daran, wenn Sie nach Faktoren suchen.

4. 

   Berechnen Sie eine Zahl mit mehr als einem perfekten Quadrat. Wenn die Faktoren einer Zahl mehr als ein perfektes Quadrat enthalten, verschieben Sie sie alle aus dem radikalen Symbol. Wenn Sie während des Vereinfachungsprozesses mehrere perfekte Quadrate finden, verschieben Sie alle Quadratwurzeln aus dem √-Symbol und multiplizieren Sie sie. Vereinfachen wir zum Beispiel √72:
   • √72 = √ (9 x 8).
   • √72 = √ (9 x 4 x 2).
   • √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2).
   • √72 = 3 x 2 x √2.
   • √72 = 6√2.

Methode 3 von 3: Kenntnis der Terminologie

1. 

   Wisse, dass das radikale Symbol (√) das Quadratwurzelsymbol ist. Zum Beispiel ist in der Aufgabe √25 "√" das Symbol für das Radikal.

2. 

   Wisse, dass das Radikal die Zahl innerhalb des Radikalsymbols ist. Sie müssen die Quadratwurzel dieser Zahl finden. Zum Beispiel ist in Problem √25 "25" die Wurzel.

3. 

   Wisse, dass der Koeffizient die Zahl außerhalb des radikalen Symbols ist. Dies ist die Zahl, mit der die Quadratwurzel multipliziert wird. Es befindet sich links vom Symbol √. Zum Beispiel ist in Aufgabe 7√2 "7" der Koeffizient.

4. 

   Wisse, dass ein Faktor eine Zahl ist, die einen anderen gleichmäßig teilt, ohne einen Rest zu hinterlassen. Zum Beispiel ist 2 ein Faktor von 8, weil 8 ÷ 4 = 2 ist, aber 3 ist kein Faktor von 8, weil 8 ÷ 3 keine ganze Zahl ergibt. Als weiteres Beispiel: 5 ist ein Faktor von 25, weil 5 x 5 = 25 ist.

5. 

   Verstehen Sie, was es bedeutet, eine Quadratwurzel zu vereinfachen. Dies bedeutet nur, alle perfekten Quadrate aus der Wurzel herauszurechnen und zu entfernen, sie links vom Stammsymbol zu verschieben und den anderen Faktor im Symbol zu belassen. Wenn die Zahl ein perfektes Quadrat ist, verschwindet das radikale Symbol, nachdem Sie die Wurzel geschrieben haben. Zum Beispiel kann √98 auf 7√2 vereinfacht werden.

Tipps

• Eine Möglichkeit, perfekte Quadratwurzeln zu finden, die eine Zahl berücksichtigen, besteht darin, die Liste der perfekten Quadrate zu durchsuchen, beginnend mit der nächstkleineren Zahl im Vergleich zu Ihrer Wurzel. Wenn Sie beispielsweise nach dem perfekten Quadrat suchen, das in 27 passt, können Sie bei 25 beginnen und bis 16 scrollen. Halt bei 9, wenn Sie feststellen, dass dies ein Faktor von 27 ist.

Warnungen

• Vereinfachen ist nicht dasselbe wie Bewerten. Zu keinem Zeitpunkt in diesem Prozess sollten Sie eine Zahl mit einem Dezimalpunkt erhalten!
• Taschenrechner können für große Zahlen nützlich sein, aber je mehr Sie üben, es selbst zu tun, desto einfacher wird es.